Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.
а) Продлим боковые стороны трапеции. 
поэтому BC — средняя линия треугольника AQD, тогда 
Углы MCD и MBA прямые, из чего следует, что MC и MB — медианы и высоты, тогда треугольники QMD и QMA равнобедренные, то есть 
а значит, 
что и требовалось доказать.
б) Опустим высоту MN в равнобедренном треугольнике AMD. MN — медиана, откуда 
тогда 
MN — медиана, 
поэтому угол 
Треугольник MND прямоугольный и равнобедренный, тогда 
Заметим теперь, что 
тогда 
Имеем:
откуда 
Тогда 
Ответ: б)
Здравствуйте. Условие задачи не согласовано по общему условию и п b). В общем условии на задачу сказано, что углы ABD и ACD прямые, значит трапеция вписана в некую окружность с диаметром AD. Точки В и С на окружности, а точка М внутри трапеции и данной окружности.
в условии b)MN=BC, а следовательно MN=AN=ND, следовательно присутствует некая ДРУГАЯ окружность, но с тем же центром N и диаметром AD, проходящая через тМ.
При решении задачи ученик может опереться на первую окружность и получить вполне оправданный ответ 55 градусов, т.к. трапеция равнобедренная.
Вариант устранения: условие по прямым углам ABD и ACD перенести в п а) как локальное условие только для пункта а)
Я бы хотела узнать Ваше мнение по данному случаю.
В условии не говорится об углах ABD и ACD.
Точки B, M и D не лежат на одной прямой, также как и точки A, M и C