а) Решите уравнение:

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

а) Докажите, что AA₁ = AС.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 7, BC = 8.

Решите неравенство:

Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.

б) Найти AD, если радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:

− 1-го числа k-ого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?