В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла C. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
а) Лучи AO1 и CO2 являются биссектрисами равных углов HAC и HCB соответственно. Значит, 
то есть прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Пусть прямая AB касается окружностей, вписанных в треугольники ACH и BCH, в точках
Поскольку 
и 
— квадраты, получаем: 
Значит, площадь четырёхугольника 
равна
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Пункт а) можно решить без вычислений. Повернём треугольник CHA вокруг точки Н на угол 90° и совместим точки А и С. Тогда лучи АO1 и СО2 совпадут, поскольку являются биссектрисами равных углов, а значит, угол между ними до поворота был 90°.
Приведем решение пункта б) Матвея Гащенко (Санкт-Петербург).
Пусть r, r1, r2 — радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ACH и BCH соответственно. Треугольники ABC, ACH и BCH подобны, поэтому 
Из подобия находим отношение радиусов:
тогда
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC:
Подставляя в формулу 
находим:
а потому r2 = 3.
Заметим, что 
Четырехугольник MO1NO2 — трапеция, ее площадь равна
