Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC = 
а) Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция,
откуда 
б) В треугольнике AMC угол 
Треугольники BCO и MOD равны, поскольку 
угол CBO равен углу ODM, а угол C равен углу M. Тогда 
откуда O — середина BD, CO — искомое расстояние. Из равенства треугольников BCO и MOD следует равенство отрезков CO и OM, откуда 
Ответ: б) 4.
Приведем решение п. б) Романа Прокопенко.
В треугольнике CMD по теореме Пифагора найдем 
откуда CD = 10. В треугольнике BCD точка О — середина отрезка BD, поэтому CO — медиана. Найдем ее длину по формуле длины медианы:
Хотелось бы рассмотреть следующий вариант решения пункта б):
В треугольнике CMD по теореме Пифагора CD^2 = CM^2 + MD^2 = 100, откуда CD = 10. Рассмотрим треугольник BCD. Поскольку точка
О - середина отрезка BD, то CO - медиана треугольника BCD. Тогда искомое расстояние есть длина отрезка CO, значит:
CO = 1/2 sqrt(2(BC)^2 + 2(CD)^2 - BD^2). После подстановки чисел CO = 4
Спасибо. Добавили в текст решения.