Всего: 235 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
перпендикулярны.
это прямая 
Проекция прямой 
это прямая 
и 
как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
а MO — средняя линия треугольника 
поэтому 
Треугольник 
— равносторонний, 
следовательно, искомый угол равен углу 
Найдем стороны треугольника 
из равностороннего треугольника 
то 
Теперь применим к треугольнику 
теорему косинусов:
В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.
а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.
б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
Тогда 
значит, 
считая от вершины D, поэтому 
— искомый. Из пункта а) 
Далее имеем: 
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.
и 
откуда 
Но 
следовательно, 
Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Через точки B и M можно провести только одну плоскость, перпендикулярную BPD, и эта плоскость является плоскостью BMN, делящей высоту пирамиды пополам. Таким образом, утверждение задачи доказано.
и, следовательно, 
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1.
а) Докажите, что расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1 равно расстоянию середины отрезка BC1 до прямой, проходящей через середину отрезка 
и вершину 
б) Найдите это расстояние.
значит, 
Кроме того, 
следовательно, плоскость 
Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую 
кроме этого, 
(поскольку лежит в плоскости 
), следовательно, 
и является искомым расстоянием.
с прямым углом N.
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка M — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что плоскость BA1M перпендикулярна плоскости BCC1.
б) Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
— высота треугольника 
Призма 
прямая, поэтому 
Поэтому 
по признаку перпендикулярности плоскостей. 
на плоскость 
имеем: 
Следовательно, 
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC, с гипотенузой AB = 5, и катетом 
Высота призмы равна 
а) 
− высота треугольника 
Докажите, что BH является проекцией прямой C1B на плоскость ABB1.
б) Найдите угол между прямой C1B и плоскостью ABB1.
прямая, то высота 
перпендикулярна грани 
Поэтому прямая BH — проекция прямой 
на плоскость 
то 
Точка M — середина ребра AA1. 
и 
равновелики.
Ее объем можно выразить двумя способами:
где h — искомое расстояние. 
Проведем в нем высоту 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.
а) Докажите, что BMC -- равнобедренный, остроугольный треугольник.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC.
Тогда, по теореме косинусов, 
Отсюда 
Получается, что основание равнобедренного треугольника BMC меньше его боковой стороны, значит, угол при вершине острый. Угол же при основании равнобедренного треугольника всегда острый. Отсюда получаем требуемое.
имеем: 
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро 
сторона основания равна 2.
а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM.
— середина ребра SB.
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2.
а) Докажите, что точки B и S равноудалены от плоскости ADM, где M — середина ребра SC.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости ADM.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB.
а) Докажите, что прямые SC и AB перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 8, AB = 6.
Значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на медиане CL треугольника 
Прямая 
параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC, 
и 
Следовательно, 
— линейный угол искомого угла между плоскостями. 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 2, AD = AA1 = 1.
а) Пусть B1E — высота треугольника BB1C1. Докажите, что AE — проекция AB1 на плоскость ABC1.
б) Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
и 
перпендикулярны. Перпендикуляр из точки 
к плоскости 
в точке 
Поэтому AE — проекция 
В прямоугольном треугольнике 
катет 
гипотенуза 
Поэтому 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 1, AD = AA1 = 2.
а) Пусть 
— высота треугольника 
Докажите, что AE — проекция 
на плоскость 
б) Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
с катетом 
и гипотенузой 
имеем:
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
и 
Основания этих пирамид − равные прямоугольные трапеции, а высоты равны высоте равностороннего треугольника ABC, поэтому они тоже равны. Следовательно, равны и объемы этих пирамид. Что и требовалось доказать.
Плоскости ABC и 
Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AK, тогда отрезок CH (проекция DH), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой 
поэтому 
и KCD получаем: 
высота CH является высотой и биссектрисой, откуда 
тогда 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
равны по гипотенузе (AO = C1O) и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
получаем:
откуда высота
или 
в точке 
пересекает ребро 
в его середине — точке 
— сечение куба плоскостью 
подобен треугольнику KFE, 
то есть 
и высота 
поэтому получаем:
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
высота CH является биссектрисой, откуда
тогда 
и 
перпендикулярны.
B1D = 2:
в точке 
пересекает ребро 
в его середине — точке F. 
— сечение куба плоскостью 
Треугольник 
равнобедренный, а EF — его средняя линия, поэтому 
Значит, 
и высота 
поэтому получаем:
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что вершины 
и С равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
− параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая 
пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка 
Пусть точки HA и HC − проекции, соответственно, точек 
и HCCO равны по гипотенузе и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
пересекает прямую AD в точке 
пересекаются по прямой 
получаем:
и AKE находим:
откуда высота
