ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 500193 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Куб, Площадь сечения, Сечение, проходящее через три точки

Стереометрическая задача. Сечения параллелепипедов

Точка E  — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что сечение куба плоскостью A₁BE − это равнобокая трапеция.

б)  Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 2.

Решение.

а)  Прямая BE пересекает прямую $B_1C_1$ в точке $K.$ Прямая $A_1K$ пересекает ребро $C_1D_1$ в его середине  — точке $F.$ $A_1BEF$   — сечение куба плоскостью $A_1BE.$

Равнобедренный треугольник $A_1BK$ подобен треугольнику KFE,

поэтому $FE||A_1B,$ то есть $A_1BEF$   — равнобокая трапеция.

б)  Вычислим стороны треугольника $A_1BK$ : $A_1K=BK=2BE=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,A_1B= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на AB=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и высота

$KH= корень из: начало аргумента: BK в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: A_1B, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента в квадрате =3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

EF  — средняя линия треугольника $A_1BK,$ поэтому получаем:

$S_KEF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_A_1BK,$

$S_A_1BEF=S_A_1BK минус S_KEF= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S_A_1BK= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на KH умножить на A_1B=4,5.$

Ответ: 4,5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 4,5.

Аналоги к заданию № 500193: 500474 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип 14 № 500474 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Куб, Площадь сечения, Деление отрезка, Сечение, проходящее через три точки

Стереометрическая задача. Сечения параллелепипедов

Точка E  — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что сечение куба плоскостью D₁AE есть равнобокая трапеция.

б)  Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.

Решение.

а)  Прямая AE пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $K.$ Прямая $D_1K$ пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине  — точке  F. $AEFD_1$   — сечение куба плоскостью $D_1AE.$ Треугольник $AKD_1$ равнобедренный, а EF  — его средняя линия, поэтому $EF||AD_1.$ Значит, $AEFD_1$   — равнобокая трапеция.

б)  В треугольнике $AKD_1$ имеем $D_1K=AK=2AE=4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $AD_1= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на AD=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$ и высота $h= корень из: начало аргумента: AK в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AD_1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента в квадрате =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

EF  — средняя линия треугольника $AKD_1,$ поэтому получаем:

$S_KEF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_AKD_1,$

$S_AEFD_1=S_AKD_1 минус S_KEF= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S_AKD_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h умножить на AD_1=18.$

Ответ: $18.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $18.$

Аналоги к заданию № 500193: 500474 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе