Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 485966
i

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 вы­со­та равна 1, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA1.

а)  До­ка­жи­те, что пи­ра­ми­ды MDD_1C_1 и ACDD_1 рав­но­ве­ли­ки.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти DA1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а) V_MDD_1C_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби C_1D_1 умно­жить на S_MDD_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби C_1D_1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_ADD_1A_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

Ана­ло­гич­но, V_ACDD_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AD умно­жить на S_CDD_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AD умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_CDD_1C_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби V_ABCDA_1B_1C_1D_1.

 

б)  Рас­смот­рим тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду MDA_1C_1. Ее объем можно вы­ра­зить двумя спо­со­ба­ми:

1)  V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_MA_1D умно­жить на C_1D_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AD умно­жить на A_1M умно­жить на C_1D_1=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

2)  V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_DA_1C_1 умно­жить на h , где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

При­рав­ня­ем вы­ра­же­ния для объ­е­мов и вы­ра­зим его:

h = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2S_DA_1C_1 конец дроби .

Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка DA_1C_1. Про­ве­дем в нем вы­со­ту DH.

DA_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: D_1 A_1 в квад­ра­те плюс DD_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

A_1C_1=A_1D_1 умно­жить на ко­рень из 2 =2,A_1H= дробь: чис­ли­тель: A_1C_1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1.

DH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: DA_1 в квад­ра­те минус A_1H в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

S_DA_1C_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_1C_1 умно­жить на DH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое рас­сто­я­ние h = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025