В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что точки A и 
равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 2.
а) Докажите, что точки A и C1 равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
а) Четырехугольник ABC1D1 — параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая AC1 пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка BD1. Пусть точки HA и HC — проекции, соответственно, точек A и C1 на плоскость BED1. Тогда треугольники HAAO и 
равны по гипотенузе (AO = C1O) и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Прямая D1E пересекает прямую АD в точке К. Плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой KB. Из точки Е опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB. Угол АНЕ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Поскольку 
получаем:
Из подобия треугольников A1D1E и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A: 
откуда высота
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
Ответ может быть представлен и в другой форме: 
или 
Ответ: б) 
