В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 2 : 1.
а) Докажите, что точки A и 
равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
а) Четырехугольник ABC1D1 — параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая AC1 пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка BD1. Пусть точки HA и HC — проекции, соответственно, точек A и C1 на плоскость BED1. Тогда треугольники HAAO и HCC1O равны по гипотенузе и острому углу, значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Прямая D1E пересекает прямую АD в точке K. Плоскости ABC и BED1 пересекаются по прямой KB.
Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB. Угол AHE является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Поскольку 
получаем:
Из подобия треугольников A1D1E и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB с прямым углом A:
откуда высота 
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
откула
Ответ: 
или 
Приведем векторное решение пункта б) Дмитрия Кузьмина (Москва).
Введем систему координат с началом в точке B, оси направим вдоль ребер параллелепипеда так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Нормалью к плоскости ABC является вектор 
Плоскость BED1 проходит через начало координат, а потому ее уравнение имеет вид 
Имеем:
Удобно взять 
тогда 
и 
а нормаль к плоскости 
Найдем угол между нормалями:
Таким образом, угол между плоскостями ABC и BED1 