Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскость 
перпендикулярна прямой 
б) Найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и ACD1.
а) Спроецируем прямую 
на плоскости 
и 
Получатся прямые 
и 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина отрезка 
Примем длины ребер куба за 
Из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора найдём 
Аналогично, 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону треугольники 
и 
равносторонние, поэтому перпендикуляры и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают. Угол 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
По теореме косинусов из треугольника 
Ответ: 