В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Кроме того известно, что SC = 6, BC = 4.
а) Докажите, что BMC -- равнобедренный, остроугольный треугольник.
б) Найдите угол между плоскостями CMK и ABC.
а) Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники. Поэтому в них равны медианы, проведенные к боковым сторонам: BM и CM. Из треугольника SAB получаем, что 
Тогда, по теореме косинусов, 
Отсюда 
Получается, что основание равнобедренного треугольника BMC меньше его боковой стороны, значит, угол при вершине острый. Угол же при основании равнобедренного треугольника всегда острый. Отсюда получаем требуемое.
б) Отрезок MK — средняя линия треугольника SAB, следовательно, MK || AB. Значит, через MK можно провести плоскость параллельную плоскости ABC и, так как MK ⊂ CMK, MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC.
Треугольник CMK — равнобедренный. Проведем перпендикуляр CQ к MK, Q — середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на CL — медиане треугольника ABC, P — середина LO. CL ⊥ AB, следовательно, CL ⊥ MK и CQ ⊥ MK. Таким образом, ∠QCP — линейный угол искомого угла.
Далее находим:
Откуда 
Поскольку 
имеем: 
Ответ: 