Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точка M  — се­ре­ди­на ребра SA, точка K  — се­ре­ди­на ребра SB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые SC и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми CMK и ABC, если SC  =  8, AB  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть SO − вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда про­ек­ция пря­мой SC на плос­кость ABC это пря­мая CO. O − центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му CO\perp AB. Зна­чит, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, SC\perp AB.

б)  Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр CQ к MK, так как тре­уголь­ник CMK  — рав­но­бед­рен­ный, то Q  — се­ре­ди­на MK. Из точки Q опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QP на плос­кость ос­но­ва­ния. Точка P лежит на ме­ди­а­не CL тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая MK па­рал­лель­на пря­мой пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей CMK и ABC, QP\bot MK и CQ\bot MK. Сле­до­ва­тель­но, \angle QCP  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла между плос­ко­стя­ми.

Далее на­хо­дим:

CO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CL= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC=2 ко­рень из 3 .

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SC в квад­ра­те минус CO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

QP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ,CP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби OL плюс OC= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

От­ку­да

тан­генс \angle QCP= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Ответ: арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 485978: 486000 Все

Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Де­ле­ние от­рез­ка, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025