Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в окруж­ность. Пря­мые AB и DC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что ∠AMD  =  α и ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки BCM и AMD равны со­от­вет­ствен­но r и R.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Окруж­ность S ра­ди­у­са 24 впи­са­на в рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию с ос­но­ва­ни­я­ми 36 и 64. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния, бо­ко­вой сто­ро­ны и окруж­но­сти S.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

В тре­уголь­ни­ке ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на пря­мой BC так, что BD : DC  =  1 : 4. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в каж­дый из тре­уголь­ни­ков ADC и ADB, ка­са­ют­ся сто­ро­ны AD в точ­ках E и F. Най­ди­те длину от­рез­ка EF.

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 72, а одно из ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше дру­го­го. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ну P ос­но­ва­ния AD с вер­ши­на­ми B и C, пе­ре­се­ка­ют­ся с диа­го­на­ля­ми тра­пе­ции в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка OMPN.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC = 12 и BC = 5. С цен­тром в вер­ши­не B про­ве­де­на окруж­ность S ра­ди­у­са 8. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол BAC и ка­са­ю­щей­ся окруж­но­сти S.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окруж­ность с цен­тром в точке O ка­са­ет­ся бис­сек­три­сы угла D и двух сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны од­но­го его остро­го угла. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABOD.

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD из­вест­ны сто­ро­ны AB = a, BC = b и ∠BAD = α. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков BCD и DAB.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3 и 5 с цен­тра­ми O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую  — в точке С. Най­ди­те пло­щадь вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки O₁, O₂, B и C, если ∠ABO₁  =  15°.

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в окруж­ность. Пря­мые KL и NM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPN, если из­вест­но, что ∠KPN = φ и ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KPN и LMP равны со­от­вет­ствен­но r и R.

Бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD тра­пе­ции ABCD равны 6 и 8 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 25. Пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ВМС.

Бо­ко­вые сто­ро­ны KL и MN тра­пе­ции KLMN равны 8 и 17 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 7,5, сред­няя линия тра­пе­ции равна 17,5. Пря­мые KL и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ALM.

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 11, MN = 8. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 4 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

Дан пря­мо­уголь­ник KLMN со сто­ро­на­ми: KN = 13, MN = 6. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну М, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с цен­тром К ра­ди­у­са 3 и пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Q. Най­ди­те QK.

Дан ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC  =  24 и BD  =  10. Про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну B ка­са­ет­ся этой окруж­но­сти и пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке M. Най­ди­те CM.

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD опи­сан около окруж­но­сти и впи­сан в дру­гую окруж­ность. Пря­мые AD и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABM, если из­вест­но, что AB  =  a и CD  =  b.

В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD = 39, BC = 26. Длины бо­ко­вых сто­рон AB = 5, CD = 12. Окруж­ность про­хо­дит через точки А и В и ка­са­ет­ся пря­мой CD.

а)  До­ка­жи­те, что про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны C и D тра­пе­ции ABCD, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке B и пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние AD в точке K. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти.

В че­ты­рех­уголь­ни­ке АВСD, впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов А и В пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Е, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC  =  3 : 1.

А)  До­ка­жи­те, что точка Е рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD и АВ.

Б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и ВСЕ.

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и BDC, ка­са­ют­ся диа­го­на­ли BD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABC и ADC, ка­са­ют­ся диа­го­на­ли AC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что MNKL  — пря­мо­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му.

б)  Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия, если ко­си­нус угла между диа­го­на­ля­ми ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка равен