В четырехугольнике АВСD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке Е, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 1.
А) Докажите, что точка Е равноудалена от прямых AD и АВ.
Б) Найдите отношение площадей треугольников ADE и ВСЕ.
а) Точка E лежит на биссектрисе угла A, значит, она равноудалена от сторон этого угла. Аналогично точка E равноудалена от сторон угла B. Таким образом, точка E равноудалена от прямых AD, AB, BC. Что и требовалось доказать.
б) Проведем через точку E прямую, параллельную прямой AB. Пусть она пересекает прямую AD в точке L, прямую BC в точке K. Заметим, что треугольник ALE равнобедренный (так как равны углы BAE, LAE и LEA). Аналогично, треугольник BKE равнобедренный. Из предыдущего получаем, что AL = LE, BK = KE.
Далее, из вписанности получаем, что углы DLE и ECK равны. В треугольниках DLE и CKE равны все углы, а еще равны высоты, проведенные из вершины E, поэтому эти треугольники равны. Отсюда
LE + KE = DE + CE = CD.
Но
LE + KE = AL + BK = AD − DL + BC + CK = AD + BC.
Значит,
AD = CD − BC = 2BC.
Площади треугольников ADE и BCE относятся как их основания AD и BC, поэтому получаем ответ: 2 : 1.
Ответ: б) 2 : 1.