СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507662

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 7, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

На первый взгляд, окружностей, удовлетворяющих условию, две: каждая из них вписана в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 7 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 7 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

Однако первый случай невозможен (на это обратил наше внимание Олег Цимбалист). Действительно, для равностороннего треугольника со стороной AD, равной 7, расстояние от точки А до точки касания со вписанной окружностью будет равно разности полупериметра и противоположной стороны, то есть 3,5. Таким образом, данное расстояние на 0,5 превосходит длину стороны AB параллелограмма ABCD. По условию задачи, окружность с центром в точке О должна касаться биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла.

Но в первом случае точка касания окружности с прямой AB не принадлежит стороне AB параллелограмма ABCD. Иными словами, данная окружность касается только одной из сторон исходного параллелограмма, исходящих из вершины его острого угла A, а не двух сторон, как того требует условие.

 

Ответ:

 


Аналоги к заданию № 507617: 507662 507812 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Олег Цимбалист 10.11.2017 23:34

Вероятно, первое решение следует исключить.

В самом деле, для равностороннего треугольника со стороной AD, равной 7, расстояние от точки А до точки касания со вписанной окружностью будет равно разности полупериметра и противоположной стороны, то есть (7+7+7):2-7=3,5. Таким образом, данное расстояние на 0,5 превосходит длину стороны AB параллелограмма ABCD. По условию задачи, окружность с центром в точке О должна касаться биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Как видно, первый случай не удовлетворяет условию задачи, так как точка касания окружности с прямой AB не принадлежит стороне AB параллелограмма ABCD, иными словами, данная окружность касается только одной из сторон исходного параллелограмма, исходящих из вершины его острого угла A, а не двух сторон, как того требует условие задачи.