СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507647

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Решение.

Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и 2a. Тогда

Откуда ah = 48.

Первый случай. Пусть AD = 2a, BC = a. Четырёхугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому M и N — середины BP и CP соответственно, значит, CM и BN — медианы треугольника BPC. Следовательно, а

Значит,

Второй случай. Пусть теперь BC = 2a, AD = a. Пусть AM = 3t. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом подобия 2, а треугольник AMP — треугольнику CMB с коэффициентом Тогда

 

Аналогично, Высота треугольника AOD, проведённая из вершины O, равна значит:

 

Следовательно,

 

Ответ: 8 или 3,2.


Аналоги к заданию № 507647: 511460 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники и их свойства, Подобие