Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507647

Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.

Решение.

Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и 2a. Тогда

S_{ABCD}= дробь, числитель — a плюс 2a, знаменатель — 2 h= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ah=72.

Откуда ah = 48.

Первый случай. Пусть AD = 2a, BC = a. Четырёхугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому M и N — середины BP и CP соответственно, значит, CM и BN — медианы треугольника BPC. Следовательно,  S_{BNC}=S_{CMP}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{BPC}, а  S_{ONC}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{CMP}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 S_{BPC}.

Значит,

S_{OMPN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{\Delta BPC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ah= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на 48=8.

Второй случай. Пусть теперь BC = 2a, AD = a. Пусть AM = 3t. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом подобия 2, а треугольник AMP — треугольнику CMB с коэффициентом  дробь, числитель — AP, знаменатель — BC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . Тогда

MC=4AM=12t,AC=AM плюс MC=3t плюс 12t=15t,

 

AO= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 AC=5t, дробь, числитель — AM, знаменатель — AO = дробь, числитель — 3t, знаменатель — 5t = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 .

Аналогично,  дробь, числитель — DN, знаменатель — DO = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 . Высота треугольника AOD, проведённая из вершины O, равна  дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 h, значит:

S_{\Delta AOD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 a умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 h= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на 48=8.

 

S_{\Delta DNP}=S_{\Delta AMP}= дробь, числитель — AM, знаменатель — AO умножить на дробь, числитель — AP, знаменатель — AD S_{\Delta AOD}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 8=2,4.

Следовательно,

S_{OMPN}=S_{\Delta AOD} минус S_{\Delta AMP} минус S_{\Delta DNP}=8 минус 2,4 минус 2,4=3,2.

 

Ответ: 8 или 3,2.


Аналоги к заданию № 507647: 511460 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие