Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 484618

Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.

Решение.

Первый случай.

Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP соответственно, лежат на биссектрисе PO угла KPN. Окружность, вписанная в четырехугольник KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник KPN и вневписанной окружностью треугольника LMP.

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, следовательно, ∠LKN + ∠LMN = 180°. Но ∠LMP + ∠LMN = 180°, откуда ∠LKN = ∠LMP. Так как треугольники KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1) S_{\Delta KPN}= дробь, числитель — r в степени 2 , знаменатель — R в степени 2 S_{\Delta LPM}.

2) SΔLPM = pR, где p — полупериметр треугольника LPM равный длине отрезка AP, как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

3) из прямоугольного треугольника OAP находим AP=OA\ctg\angle OPA=r\ctg дробь, числитель — \varphi , знаменатель — 2 , откуда S_{\Delta LPM}=Rr\ctg дробь, числитель — \varphi , знаменатель — 2 .

Подставляя найденное SΔLPM в формулу площади треугольника KPN, окончательно получаем

S_{KPN}= дробь, числитель — r в степени 2 , знаменатель — R в степени 2 Rr\ctg дробь, числитель — \varphi , знаменатель — 2 = дробь, числитель — r в степени 3 , знаменатель — R \ctg дробь, числитель — \varphi , знаменатель — 2 .

Второй случай.

Отличается от первого расположением точки P левее точек N и K. В этом случае R > r и в рассуждении они и треугольники LMP и KPN должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае KPN — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности r. Значит

SKPN = rp, где p — полупериметр треугольника KPN равный отрезку PB. При этом, как и в первом случае, PB=R\ctg дробь, числитель — \varphi, знаменатель — 2 . Таким образом S_{KPN}=Rr\ctg дробь, числитель — \varphi, знаменатель — 2 .

 

Ответ: S_{KPN}= дробь, числитель — r в степени 3 , знаменатель — R \ctg дробь, числитель — \varphi , знаменатель — 2 или S_{KPN}=Rr\ctg дробь, числитель — \varphi, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 484617: 484618 506053 Все

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник