Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507370

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 3 и 2 соответственно. Для треугольника со стороной 3 радиус равен r= дробь, числитель — 3 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

S_{ABOD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на r плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD умножить на r= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 5 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 4 .

Для треугольника со стороной 2 радиус равен r= дробь, числитель — 2 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 3 .

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

S_{ABOD}=AB умножить на AD умножить на синус 60 в степени circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на r минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD умножить на r= дробь, числитель — 13 корень из { 3}, знаменатель — 6 .

 

 

Ответ:  дробь, числитель — 5 корень из 3 , знаменатель — 4 или  дробь, числитель — 13 корень из 3 , знаменатель — 6 .

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
надежда кузьменко 13.11.2016 19:12

Почему в первом случае окружность касается стороны ВС, в условии задачи этого не требуется?

Служба поддержки

Касание в решении не используется. Если сделать рисунок с пересечением, будет тот же вопрос: почему окружность пересекается со стороной. Если нарисовать без пересечения возникнет вопрос почему не пересекается.

Наиль Зарипов 04.12.2017 19:26

в условии сказано что окружность касается 2 сторон, а вы нарисовали с 3 сторонами в 1 случае, это неверно

Служба поддержки

Касание в решении не используется. Если сделать рисунок с пересечением, будет тот же вопрос: почему окружность пересекается со стороной. Если нарисовать без пересечения возникнет вопрос почему не пересекается.