СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 532958

В трапеции ABCD основания AD = 39, BC = 26. Длины боковых сторон AB = 5, CD = 12. Окружность проходит через точки А и В и касается прямой CD.

а) Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом.

б) Найдите радиус окружности.

Решение.

а) Пусть AB и DC пересекаются в точке К. Проведем ВЕ параллельно CD, получим четырехугольник BCED — параллелограмм. Тогда AE = 39 − 26 = 13, AE2 = AB2 + BE2, откуда угол ABE равен 90°. Следовательно, углы AKD и ABE равны между собой и также равны 90°.

б) Пусть N — точка касания окружности и прямой DC. O — центр окружности, OP — перпендикуляр к AB. Треугольники BKN и AKD подобны с коэффициентом подобия Тогда BK : AK = 2 : 3, следовательно, ВК = 2AB = 10. Треугольнике AOB — равнобедренный, отрезок OP — его медиана. Таким образом, PB = 2,5, и ON = PK = 12,5.

 

Ответ: б) 12,5.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 304. (Часть C)