Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 484617

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Решение.

Первый случай.

Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1) S_{ABCD}=S_{\Delta ADM} минус S_{\Delta BCM}= дробь, числитель — R в степени 2 , знаменатель — r в степени 2 {S_{\Delta BCM}} минус S_{\Delta BCM}= левая круглая скобка дробь, числитель — R в степени 2 , знаменатель — r в степени 2 минус 1 правая круглая скобка {S_{\Delta BCM}}.

2) S_{\Delta BCM}=pr, где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.

3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим KM=OK\ctg\angle OMK=R \ctg дробь, числитель — \alpha , знаменатель — 2 , откуда S_{\Delta BCM}=Rr \operatorname{\ctg} дробь, числитель — \alpha , знаменатель — 2 .

Подставляя найденное значение SΔBCM в формулу SABCD, окончательно получаем

S_{ABCD}= левая круглая скобка дробь, числитель — R в степени 2 , знаменатель — r в степени 2 минус 1 правая круглая скобка Rr\ctg дробь, числитель — \alpha , знаменатель — 2 = дробь, числитель — R(R в степени 2 минус r в степени 2 ), знаменатель — r \ctg дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 .

Второй случай.

Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

S_{ABCD}= левая круглая скобка дробь, числитель — r в степени 2 , знаменатель — R в степени 2 минус 1 правая круглая скобка S_{\Delta ADM}= левая круглая скобка дробь, числитель — r в степени 2 , знаменатель — R в степени 2 минус 1 правая круглая скобка Rr\ctg дробь, числитель — \alpha , знаменатель — 2 = дробь, числитель — r(r в степени 2 минус R в степени 2 ), знаменатель — R \ctg дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 .

 

Ответ: S_{ABCD}= дробь, числитель — R(R в степени 2 минус r в степени 2 ), знаменатель — r \operatorname{\ctg} дробь, числитель — \alpha , знаменатель — 2 или S_{ABCD}= дробь, числитель — r(r в степени 2 минус R в степени 2 ), знаменатель — R \operatorname{\ctg} дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 484617: 484618 506053 Все

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник