СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 484617

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Решение.

Первый случай.

Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1)

2) где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.

3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим откуда

Подставляя найденное значение SΔBCM в формулу SABCD, окончательно получаем

Второй случай.

Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

 

Ответ: или


Аналоги к заданию № 484617: 484618 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники