Дан ромб ABCD с диагоналями AC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса 
с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найдите CM.
Пусть точка M лежит между C и D, P, — точка касания прямой BM с данной окружностью, O — центр ромба.
По теореме Пифагора 
Обозначим 
Из прямоугольных треугольников и находим, что
Применяя теорему синусов к треугольнику BMD получим, что 
поэтому
Следовательно, 
Пусть теперь точка M лежит на продолжении стороны за точку Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
Далее, рассуждая аналогично, получим, что
Следовательно, 
Ответ: 
или 
Хочу предложить более простое и короткое решение: обозначим точку пересечения ВМ и АС буквой К. Треугольники АВК и КМС подобны по двум углам. Следовательно АВ/х=АК/КС. В первом случае АК=17, КС=7; во втором случае АК=7, КС=17; АВ=13 в обоих случаях.