Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507617

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 — соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен r= дробь, числитель — 5 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 6 .

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

S_{ABOD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на r плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD умножить на r= дробь, числитель — 10 корень из { 3}, знаменатель — 3 .

Для треугольника со стороной 3 радиус равен r= дробь, числитель — 3 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

S_{ABOD}=AB умножить на AD умножить на синус 60 в степени circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на r минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD умножить на r= дробь, числитель — 11 корень из { 3}, знаменатель — 2 .

 

 

Ответ:  дробь, числитель — 10 корень из 3 , знаменатель — 3 или  дробь, числитель — 11 корень из 3 , знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 507617: 507662 507812 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Анастасия Сергеева 07.05.2016 10:57

Если по 2-му рисунку продлить DO, то есть построить DH перпендикулярно BC, DH= дробь, числитель — 3 корень из { 3}, знаменатель — 2 , найти S_{ADHB}= дробь, числитель — 51 корень из { 3}, знаменатель — 8 , затем вычесть S_{BOH}= дробь, числитель — 7 корень из { 3}, знаменатель — 8 .

Тогда S_{ABOD}= дробь, числитель — 44 корень из { 3}, знаменатель — 8 .

Почему неправильно?

Константин Лавров

Да вообще-то,  дробь, числитель — 44 корень из { 3}, знаменатель — 8 = дробь, числитель — 11 корень из 3 , знаменатель — 2 .