СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 512873

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке С. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1 = 15°.

Решение.

Точки O1, O2 и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO1A и CO2A равнобедренные, ∠ABO1 = ∠BAO1 = ∠CAO2 = ∠ACO2 = 15°.

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рисунок 1), тогда точка B лежит между точками A и C, а Поскольку ∠ABO1 = ∠ACO2, прямые O1B и O2C параллельны, следовательно, искомый четырёхугольник — трапеция O1BCO2.

Пусть O2H — перпендикуляр, проведённый из точки O2 к прямой O1B. В прямоугольном треугольнике O2O1H имеем ∠O2O1H = 30°, откуда

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рисунок 2), тогда точка A лежит между точками B и C, а Поскольку ∠ABO1 = ∠ACO2, прямые O1B и CO2 параллельны. следовательно, искомый четырёхугольник — трапеция O1BO2C.

Пусть O2H — перпендикуляр, проведённый из точки O2 к прямой O1B. В прямоугольном треугольнике O2O1H имеем ∠O2O1H = 30°, откуда

 

Ответ: 4 или 16.

Источник: ЕГЭ — 2014. Ос­нов­ная волна.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и системы окружностей, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника