Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 535426
i

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны C и D тра­пе­ции ABCD, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке B и пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние AD в точке K. Из­вест­но, что AB=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , BC=5, KD=10.

а)  До­ка­жи­те, что BD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD умно­жить на BC конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы CBD и ADB равны как на­крест ле­жа­щие, углы ABD и BCD равны по тео­ре­ме об угле между ка­са­тель­ной и хор­дой. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки ABD и DCB по­доб­ны по двум углам, от­ку­да дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: DB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби , то есть BD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD умно­жить на BC конец ар­гу­мен­та .

б)  За­ме­тим, что AB в квад­ра­те =AK умно­жить на AD, то есть 75=AK левая круг­лая скоб­ка AK плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, AK=5, AD=15, BD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 умно­жить на 5 конец ар­гу­мен­та =5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а зна­чит, AB  =  BD. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABD и DCB на­хо­дим, что BC  =  CD. Ис­поль­зуя след­ствие из тео­ре­мы ко­си­ну­сов, на­хо­дим

ко­си­нус C= дробь: чис­ли­тель: BC в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те минус BD в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на BC умно­жить на CD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25 плюс 25 минус 75, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 5 умно­жить на 5 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит, угол C = 120°, тогда по обоб­щен­ной тео­ре­ме си­ну­сов

2R= дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: синус 120 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби =10,

от­ку­да R = 5.

 

Ответ: б) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 306 (часть 2)
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025