Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Обозначим ∠BAC = α. Тогда
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
Из прямоугольного треугольника OAD находим, что
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC, а центр второй — вне, причём искомая окружность касается окружности S внешним образом, значит, BO = BM + MO = 8 + x. В первом случае точка D лежит на катете AC, поэтому
Причём AD < AC, то есть 5x < 12, откуда 
По теореме Пифагора:
Учитывая, что 
находим, что 
Во втором случае точка D лежит на продолжении катета AC за точку C, поэтому OE = CD = AD − AC = 5x − 12, причём AD > AC, то есть 
Тогда 
Учитывая, что 
находим, что x = 5 (это значит, что OD = BC, то есть точка E совпадает с вершиной B).
Ответ: 
или 5.
Здравствуйте! Мне кажется, что в данной задаче необходимо рассмотреть еще два случая: когда искомая окружность касается окружности S внутренним образом и при этом расположена либо внутри треугольника, либо вне его. При рассмотрении этих случаев также получается квадратное уравнение, и в первом случае подходит один корень, а во втором - другой корень. Эти два случая никак не противоречат условию задачи, ведь там не сказано, что окружности касаются именно внешним образом (как рассмотрено в вашем решении), хотя, возможно, в данной задаче имеется в виду часть угла, расположенная внутри треугольника(хотя этот факт не указан в условии), тогда у задачи будет только два решения: когда искомая окружность расположена внутри треугольника и касается окружности S внутренним и внешним образом. Посмотрите, пожалуйста... Заранее огромное спасибо за Ваш ответ!
Да, Вы совершенно правы, в условии, видимо, пропущено слово про внешнее касание, возможны еще два случая внутреннего касания.
Случаи внутреннего касания будут описываться уравнением
При этом получится 