Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 507812

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 соответственно. Для треугольника со стороной 5 радиус равен r= дробь, числитель — 5 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 6 .

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и AOD:

S_{ABOD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на r плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD умножить на r= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 8 умножить на дробь, числитель — 5 корень из { 3}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — 10 корень из { 3}, знаменатель — 3 .

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

r= дробь, числитель — 3 умножить на синус 60 в степени circ, знаменатель — 3 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и DOC:

S_{ABOD}=AB умножить на AD умножить на синус 60 в степени circ минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BC умножить на r минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD умножить на r= дробь, числитель — 11 корень из { 3}, знаменатель — 2 .

 

Ответ: дробь, числитель — 10 корень из 3 , знаменатель — 3 или дробь, числитель — 11 корень из { 3}, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 507617: 507662 507812 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов ·
Димон Фирсов 10.03.2015 20:00

Извините, а разве не требуется сначала каким-то образом доказать, что в первом случае ВС именно касательная к окружности или это можно не доказывать?

Александр Иванов

1. То, что ВС именно касательная к данной окружности в решении нигде не использовалось. Поэтому зачем это доказывать?

2. А если Вы всё же попытаетесь это доказать, то у Вас не получится, потому что ВС касательной к данной окружности не является.