ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 665357 Добавить в вариант

Из пары натуральных чисел (a; b), где $a больше b,$ за один ход получают пару (a + b; a – b).

а)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару, большее число в которой равно 400?

б)  Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100; 1) пару (806; 788)?

в)  Какое наименьшее a может быть в паре (a; b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $a плюс b больше a минус b,$ поэтому второй ход даст

$левая круглая скобка a плюс b плюс a минус b, a плюс b минус левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка 2a, 2b правая круглая скобка .$

Итак, за два хода числа удваиваются.

а)  Если сделать 4 хода, 100 удвоится дважды и получится 400.

б)  Заметим, что $левая круглая скобка 100, 1 правая круглая скобка \mapsto левая круглая скобка 101, 99 правая круглая скобка .$ Дальше все пары будут либо вида $левая круглая скобка 2 в степени k умножить на 100, 2 в степени k правая круглая скобка ,$ либо вида $левая круглая скобка 2 в степени k умножить на 101, 2 в степени k умножить на 99 правая круглая скобка .$ Поскольку 806 кратно 31, а ни одно из чисел в этих парах не кратно 31, получить его нельзя.

в)  Если пара (a, b) дала пару (806, 788), то $a плюс b=806$ и $a минус b = 788,$ откуда $a = 797$ и $b=9.$

поскольку за два хода числа в паре удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара (797, 9) вообще не получается удвоением, а пара (806, 788) получается удвоением пары (403, 394), которую уже нельзя поделить на 2.

Значит все такие пары это (797, 9) и (403, 394). Наименьшее a именно в ней.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  403.

-------------
Дублирует задание № 644847.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2025 по математике. Профильный уровень

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь