Си­сте­ма на­ви­га­ции самолёта ин­фор­ми­ру­ет пас­са­жи­ра о том, что полёт про­хо­дит на вы­со­те 35 000 футов. Вы­ра­зи­те вы­со­ту полёта в мет­рах. Счи­тай­те, что 1 фут равен 30,5 см.

При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На гра­фи­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­че­но время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси  — на­пря­же­ние в воль­тах. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, за сколь­ко часов на­пря­же­ние упадёт с 1,4 воль­та до 1 воль­та.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

Ве­ро­ят­ность того, что новый ска­нер про­слу­жит боль­ше года, равна 0,94. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,87. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 9 и 15. Вы­со­та, опу­щен­ная на первую сто­ро­ну, равна 10. Най­ди­те вы­со­ту, опу­щен­ную на вто­рую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции На оси абс­цисс от­ме­че­но де­вять точек: Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит про­ме­жут­кам убы­ва­ния функ­ции

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объём ко­ну­са равен 47. Най­ди­те объём шара.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Ско­рость (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, сколь­ко ки­ло­мет­ров про­едет ав­то­мо­биль к мо­мен­ту, когда он раз­го­нит­ся до ско­ро­сти 90 км/ч.

Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 48 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 45 минут. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 6. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Сто­ро­ны KN и LM тра­пе­ции KLMN па­рал­лель­ны, пря­мые LM и MN  — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLN.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки LMN и KLN по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLN, если из­вест­но, что KN  =  6, а ∠LMN  =  120°.

По биз­нес-плану пред­по­ла­га­ет­ся из­на­чаль­но вло­жить в четырёхлет­ний про­ект 20 млн руб­лей. По ито­гам каж­до­го года пла­ни­ру­ет­ся при­рост вло­жен­ных средств на 13% по срав­не­нию с на­ча­лом года. На­чис­лен­ные про­цен­ты оста­ют­ся вло­жен­ны­ми в про­ект. Кроме этого, сразу после на­чис­ле­ний про­цен­тов нужны до­пол­ни­тель­ные вло­же­ния: по це­ло­му числу n млн руб­лей в пер­вый и вто­рой годы, а также по це­ло­му числу m млн руб­лей в тре­тий и четвёртый годы.

Най­ди­те наи­мень­шие зна­че­ния n и m, при ко­то­рых пер­во­на­чаль­ные вло­же­ния за два года как ми­ни­мум удво­ят­ся, а за че­ты­ре года как ми­ни­мум утро­ят­ся.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке [−2; 2].

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a₁, a₂, ..., a_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа де­лят­ся на 36?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₃₀ ровно 9 чисел де­лят­ся на 36?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го n могло ока­зать­ся так, что среди чисел a₁, a₂, ..., a_2n боль­ше крат­ных 36, чем среди чисел a_{2n + 1}, a_{2n + 2}, ..., a_5n?