PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника.
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов
и 
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?
Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график некоторой функции
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.
Введём систему координат:
В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение 
где
Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.
На рисунке изображены графики функций
и 
которые пересекаются в точках
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной 
высота призмы равна 
Точка K — середина ребра BB'. Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная прямой BD'.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Решите неравенство 
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно 4 решения.
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
равна вектору 
Вектор 
образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме Пифагора 
и 
а второй кружки — за 
и 
Первая кружка в два раза выше второй, тогда 
Вторая кружка в полтора раза шире первой, тогда 
Тогда объем первой кружки равен
Второй способ: на первой развилке нужно выбрать одну из четырёх дорожек, на второй — две из четырёх. Вероятность этого способа тоже равна 
:
по отрезку 
дает значение площади подграфика функции 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл 
найдём его:
где a — параметр, зависящий от материала. 
задач. Вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова, отсюда имеем:
Таким образом, Гоша решает 10 задач в час и решит 20 задач за 2 часа.
найдем нули производной: 
отрезку 
принадлежит единственный корень −2.
:
откуда получаем: 
В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу.
Таким образом, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%.
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
равна 
а их произведение равно 
Поэтому корни — числа 
и 
Тогда для исходного уравнения имеем:
различны, то 
Используя это свойство, получаем, что четыре корня исходное уравнение будет иметь при
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
и 
.
а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 
и их 
штук.
Значит, 
Но тогда 
что невозможно.
Очевидно, следует взять 
и максимизировать 
то есть следует максимизировать x.
откуда 
Тогда требуемое выражение будет равно 
Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая 
