СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519661

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Решение.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:

 

 

поэтому ABC  = 120°.

Далее,

 

поэтому ADC  = 60°.

Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.

Для вписаного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда .

 

Ответ: б) .

Источник: ЕГЭ — 2018. Досрочная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Методы геометрии: Теорема Птолемея, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника