Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519661

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Решение.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:

 

 косинус \widehat{ABC} = дробь, числитель — AB в степени 2 плюс BC в степени 2 минус AC в степени 2 , знаменатель — 2AB умножить на BC = дробь, числитель — 9 плюс 25 минус 49, знаменатель — 2 умножить на 3 умножить на 5 = минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,

 

поэтому ABC  = 120°.

Далее,

 косинус \widehat{ADC} = дробь, числитель — AD в степени 2 плюс DC в степени 2 минус AC в степени 2 , знаменатель — 2AD умножить на DC = дробь, числитель — 64 плюс 25 минус 49, знаменатель — 2 умножить на 8 умножить на 5 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,

 

поэтому ADC  = 60°.

Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.

Для вписаного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда AC умножить на BD = AB умножить на DC плюс AD умножить на BC, то есть 7 умножить на BD = 3 умножить на 5 плюс 8 умножить на 5, откуда BD = дробь, числитель — 55, знаменатель — 7 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 55, знаменатель — 7 .

 

Приведем решение пункта б) Tofig Aliev без использования теоремы Птолемея.

 

Заметим, что  косинус \angle BAD = минус косинус \angle BCD, поскольку  \angle BAD плюс \angle BCD = 180 в степени circ. Пусть  \gamma= \angle BAD.

В треугольнике BAD по теореме косинусов

 BD в степени 2 = AD в степени 2 плюс AB в степени 2 минус 2 умножить на AD умножить на AB умножить на косинус \gamma = 64 плюс 9 минус 48 косинус \gamma .

В треугольнике BCD по теореме косинусов

 BD в степени 2 = CD в степени 2 плюс CB в степени 2 плюс 2 умножить на CD умножить на CB умножить на косинус \gamma = 25 плюс 25 плюс 50 косинус \gamma .

Приравнивая выражения для BD2, получим

 73 минус 48 косинус \gamma = 50 плюс 50 косинус \gamma равносильно косинус \gamma = \dfrac{23}{98}.

Тогда

 BD= корень из { 50 плюс 50 умножить на \dfrac{23}{98}} = корень из { \dfrac{50 левая круглая скобка 98 плюс 23 правая круглая скобка }{98}} = \dfrac{55}{7}.

Источник: ЕГЭ — 2018. Досрочная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Методы геометрии: Теорема Птолемея, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника