СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 519661

В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке ABCD из­вест­ны сто­ро­ны и диа­го­наль: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) До­ка­жи­те, что во­круг этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

б) Най­ди­те BD.

Ре­ше­ние.

Найдём ко­си­ну­сы углов ABC и ADC в тре­уголь­ни­ках и со­от­вет­ствен­но:

 

 

по­это­му ABC  = 120°.

Далее,

 

по­это­му ADC  = 60°.

Тем самым, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му во­круг него можно опи­сать окруж­ность.

Для впи­са­но­го четырёхуголь­ни­ка спра­вед­ли­ва тео­ре­ма Пто­ле­мея: про­из­ве­де­ние диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка равно сумме про­из­ве­де­ний его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон. Тогда то есть от­ку­да .

 

Ответ: б) .

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Теорема Птолемея, Теорема косинусов