На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.
Введём систему координат:
В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение 
где
Найдем длину ванты, находящейся на расстоянии 30 м от левого пилона (см. рис.), в силу симметрии она равна длине ванты, находящейся на расстоянии 30 м от правого пилона. Задача сводится к вычислению значения 
найдём его:
Ответ: 7,3.
Примечание 1.
Линия, по которой провисает тяжелая цепь в поле силы тяжести, является «цепной линией», которая похожа на параболу, но отличается от неё. Уравнение цепной линии: 
где a — параметр, зависящий от материала.
Ненагруженная цепь, подвешенная между двумя опорами, принимает форму цепной линии. Если весом цепи можно пренебречь, а вес моста равномерно распределён вдоль его длины, цепь принимают форму параболы. Если же вес цепи сравним с весом полотна (скажем, для небольших легких пешеходных мостов в горах), то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.
Примечание 2.
Внимательный Сергей Пепеляев заметил, что в нижней точке моста, имеющей координату х = 74, ордината отрицательна: у = −2,38 метра. Оказывается, это грустная задача про мост, который ванты в центре не держат.
Примечание 3.
В решении и примечаниях выше мы использовали терминологию из условия. Она не является общепринятой. В учебной и профессиональной литературе то, что в условии названо цепью, называется нитью, поддерживающие полотно тросы называются подвеской, а вант на представленном в условии мосту нет (и сам мост — не вантовый!). Дело в том, что несущий элемент вантового моста — прямолинейные ванты, прикрепленные к пилонам. Вантовые мосты бывают двух типов — «веерный» и «арфовый», на рисунке ниже они изображены слева и справа соответственно.
Почему цепную линию описывают квадратичной зависимостью? Ярко запомнилось на третьем курсе педуниверситета, на практике: возмущению преподавателя не было предела, когда студентка на уроке в 8 классе изобразила параболу, взяв в руки веревку. И хотя она оправдывалась, что дети в 8 классе не знают экспоненты, а "по виду то же самое", препод с пеной у рта требовал "не вводить детей в заблуждение"!
Линии разные, но в некотором приближении и с некоторой точностью можно описывать одну другой.
Интересный у нас мост, на минимуме при х=74 уходит в минус на −2,38 метра :))
В примечании вы, как и Виктория в комментариях, отметили, что на самом деле линия каната является цепной линией. Действительно, зачастую провисающие элементы провисают по цепной линии, но вантовый мост является исключением, в нем канат провисает по параболе. Подробнее об этом написано здесь http://www.math24.ru/уравнение-цепной-линии.html.
Мы ничего не писали про провисание вантового каната. Интересный материал по ссылке прочитали, спасибо. Добавили небольшое разъяснение в примечание 1.