PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет три различных решения.
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде
При 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат.
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы 
с прямой при условии 
Прямая пересекает прямую при 
и при 
пересекает правую ветвь гиперболы при 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при 
Таким образом, исходная система имеет три различных решения при 
и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 4. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен промежуток (4; +∞), возможно, с исключением граничной точки a = 4 и исключением точки a = 3 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямой и окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
с прямой 
пересекает левую ветвь гиперболы при 
и при 
левая часть не имеет смысла. При 
уравнение задаёт прямую 
и гиперболу 
(см. рис.). При каждом значении a уравнение 
и 
при 
При этом прямая 
и при 
который удовлетворяет системе при 
Второе уравнение имеет два различных корня 
только при a > 0, причем, x2 является корнем системы при любом положительном a, а x3 при 
Таким образом, система будет иметь два различных решения при 
Кроме того, положительные корни x1 и x2 могут совпасть 
это происходит при a = 3.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением/исключением граничных точек
имеют с прямой 
(см. рис.).
одно решение, при 
три решения, при 
два решения, при 
одно решение.
с центрами в точках 
и 
лежащих выше и ниже прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Количество корней равнения равно количеству точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой при соответствующем значении a. 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
или при 
с центрами в точках 
и 
лежащих выше и ниже прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
— нет решений;
— одно решение;
— два решения;
— три решения;
— четыре решения;
— три решения;
— два решения;
— три решения;
— четыре решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение;
— нет решений.
или при 
. 
), но неверно определены промежутки значений a, 
уравнение 
не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая — отрицательные. 
уравнение 
и 
уравнение 
принимает вид: 
с концами в точках (0; 0) и (1; −1). 
принимает вид: 
лежащую в полуплоскости 
с объединением дуг ω1 и ω2.
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
и 
в одной точке при 
и не пересекается при 
и 
и при 
прямая 
и 
но неверно определены промежутки значений a 
уравнение 
не имеет корней, поскольку его левая часть принимает неотрицательные значения, а правая — отрицательные.
уравнение 
и 
принимает вид: 
радиусом 
лежащую в полуплоскости 
и 
Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения прямой 
и 
в одной точке при 
и 
и не пересекается при 
и 
и 
но неверно определены промежутки значений a 
Тогда 
значит, в этом случае корнями могут быть числа 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
Тогда 
значит, в этом случае корнями уравнения могут быть числа 
и 
при 
при 
Отдельно отметим, когда корни совпадают: 
при 
и
— 2 корня;
и 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
— 4 корня;
и 
— 2 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
корнями исходного уравнения являются числа 
— 3 корня;
корнями исходного уравнения являются числа 
и 
— 2 корня.
a = 0, a > 2.
тогда получим
и 
совпадают и при этом положительны, либо если один из них отрицательный, а второй положительный.
и 
совпадают при a = 0, в этом случае t = 1 и исходное уравнение имеет два корня.
тогда корень 
и 
множества значений a, возможно с включением границ
или 
Ровно два корня уравнение имеет в следующих случаях.
или 
a = 0, a > 3.
и / или 
и 
множества значений a, возможно с включением границ
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
уравнение не имеет корней;
уравнение имеет один корень;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет четыре корня;
уравнение имеет три корня;
уравнение имеет два корня;
уравнение имеет один корень;
уравнение не имеет корней.
при 
уравнение 
принимает вид: 
при 
и луч l2 с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой 
при 
Лучи l1 и l2 пересекаются в точке (−1; 0). При 
уравнение 
при 
и луч l4 с началом в точке (0; −1), совпадающий с прямой 
при 
и не пересекается при 
и не пересекается при 
исходное уравнение имеет ровно два корня.
прямая 
исходное уравнение имеет ровно три корня.
исходное уравнение имеет ровно четыре корня.
и 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x ⩾ 0, получаем: 0 ⩽ a ⩽ 6.
откуда 
или 
то есть 
или 
Поскольку x < 0, получаем: 0 < a < 6.
Чтобы эти корни были различными, необходимо и достаточно выполнения условий
а произведение равно 
Ясно, что это числа 
и 
Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при 
выполнялось неравенство 
а также чтобы были выполнены условия 
и 
Получаем систему неравенств:
множества значений a 
и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии 
и 
Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при 
выполнялось неравенство 
а также чтобы были выполнены условия 
и 
Получаем систему неравенств:
и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии 
корней нет. Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
корней нет. При 
уравнение 
имеет единственный корень 
При 
получаем:
равен
Эти корни равны
и 
поскольку
и 
удовлетворяют условию 