ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 630713 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2a минус x конец аргумента =a$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Левая часть исходного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при $a меньше 0$ корней нет. Пусть $a больше или равно 0,$ тогда исходное уравнение принимает вид:

$x плюс 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 2a минус x конец аргумента плюс 2a минус x = a в квадрате равносильно система выражений 2 корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 2a минус x правая круглая скобка x конец аргумента = a в квадрате минус 2a,0 меньше или равно x меньше или равно 2a конец системы .$

Левая часть полученного уравнения неотрицательна при любом допустимом значении x, поэтому при $0 меньше a меньше 2$ корней нет. При $a =0$ уравнение $2 корень из: начало аргумента: минус x в квадрате конец аргумента =0$ имеет единственный корень $x=0.$ При $a больше или равно 2$ получаем:

$система выражений 4 левая круглая скобка 2a минус x правая круглая скобка x = a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате ,0 меньше или равно x меньше или равно 2a конец системы . равносильно система выражений 4x в квадрате минус 8ax плюс левая круглая скобка a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате правая круглая скобка =0,0 меньше или равно x меньше или равно 2a. конец системы .$

Дискриминант квадратного уравнения $4x в квадрате минус 8ax плюс левая круглая скобка a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате правая круглая скобка = 0$ равен

$64a в квадрате минус 16 левая круглая скобка a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате правая круглая скобка =64a в кубе минус 16a в степени 4 ,$

значит, это уравнение имеет два корня при $0 меньше a меньше 4.$ Эти корни равны

$x_1=a левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4a минус a в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$      и      $x_2=a левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4a минус a в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$

и всегда принадлежат отрезку $левая квадратная скобка 0;2a правая квадратная скобка ,$ поскольку

$a в квадрате минус 4a плюс 4\geqslant0,$            $дробь: числитель: 4a минус a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно 1$      и      $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 4a минус a в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $2 меньше или равно a меньше 4.$

Ответ: $2 меньше или равно a меньше 4.$

-------------
Дублирует задание № 514741.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек $a=4$ и/или $a=2$	3
Доказано, что корни уравнения $4x в квадрате минус 8ax плюс левая круглая скобка a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате правая круглая скобка =0$ удовлетворяют условию $0 меньше или равно x меньше или равно 2a$	2
Задача верно сведена к исследованию квадратного уравнения $4x в квадрате минус 8ax плюс левая круглая скобка a в степени 4 минус 4a в кубе плюс 4a в квадрате правая круглая скобка =0$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 524055: 524077 630699 630706 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Вариант 992;

Задания 17 ЕГЭ–2022.

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь