ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 630706 Добавить в вариант

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента = x в квадрате плюс 3x минус a$

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Уравнение равносильно системе

$система выражений x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс 9x в квадрате плюс a в квадрате плюс 6x в кубе минус 2ax в квадрате минус 6ax,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2ax в квадрате плюс 6ax=6x в кубе плюс 18x в квадрате ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =6x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка =0,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0. конец системы .$ $система выражений x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс 9x в квадрате плюс a в квадрате плюс 6x в кубе минус 2ax в квадрате минус 6ax,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax в квадрате плюс 6ax=6x в кубе плюс 18x в квадрате ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =6x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка =0,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0. конец системы .$ $система выражений x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате =x в степени 4 плюс 9x в квадрате плюс a в квадрате плюс 6x в кубе минус 2ax в квадрате минус 6ax,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax в квадрате плюс 6ax=6x в кубе плюс 18x в квадрате ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2ax левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =6x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка ,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2x левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка =0,x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0. конец системы .$

Из уравнения получаем $x=0,$ $x= минус 3$ и $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби .$ Чтобы уравнение имело три различных корня, требуется, чтобы при $x=0,$ $x= минус 3$ и $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби$ выполнялось неравенство $x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0,$ а также чтобы были выполнены условия $дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби не равно минус 3$ и $дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби не равно 0.$ Получаем систему неравенств:

$система выражений левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 9 минус a\geqslant0,0 в квадрате плюс 0 минус a\geqslant0, дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс a минус a\geqslant0, дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби не равно минус 3, дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a\leqslant0,a не равно минус 9,a не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше минус 9, минус 9 меньше a меньше 0. конец совокупности .$

Ответ: $a меньше минус 9, минус 9 меньше a меньше 0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только одной точкой $a=0$ или $a= минус 9$	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка$ множества значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Получены корни уравнения $x в степени 4 минус 9x в квадрате плюс a в квадрате = левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a правая круглая скобка в квадрате :$ $x=0,$ $x= минус 3,$ $x= дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби$ и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии $x в квадрате плюс 3x минус a больше 0$ $левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x минус a\geqslant0 правая круглая скобка$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 524055: 524077 630699 630706 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 501;

Задания 17 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь