PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем систему:
Изобразим линии, соответствующие уравнениям и неравенствам системы, в плоскости xOy. Уравнения 
задают две прямые, проходящие через начало координат. Двойное неравенство 
задают внутреннюю часть вертикальной полосы, ограниченной прямыми 
и 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Найдем абсциссы точек пересечения прямой 
и окружности: подставим во второе уравнение исходной системы. Получим: 
то есть 
или 
Аналогично найдем абсциссы точек пересечения окружности и прямой 
Имеем:
откуда или 
Тем самым получены абсциссы трех точек 
которые могут быть решениями системы при условии существования логарифмов. Требуется, чтобы (строго) внутрь полосы 
симметричной относительно оси ординат, попали ровно две из трех этих точек. Это происходит в точности тогда, когда 
Таким образом, 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Преобразуем первое уравнение системы:
Второе уравнение системы с учетом условия 
принимает вид: 
Подставляя в полученное уравнение y = x, получаем 
откуда 
или 
Подставляя в уравнение (⁎) 
получаем 
откуда 
или 
Два различных решения система будет иметь в следующих трех случаях:
или 
или 
Первая и последняя из полученных систем несовместны, решением второй являются
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
левая часть первого уравнения системы не определена, а при −6 < y < 6 первое уравнение системы принимает вид:
откуда 
В этих случаях получаем, что 
и 
соответственно.
откуда 
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
для которых выполнено условие −6 < y < 6.
условие −6 < y < 6 принимает вид: 
условие −6 < y < 6 принимает вид
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
(см. рис., выделено красным). Двойное неравенство 
задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми 
и 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки. 
и 
одинаково. Поэтому искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай 
Точка 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
если при этом прямая 
не пересекает дугу в точке, отличной от точки 
Этот случай реализуется при 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
первое уравнение системы принимает вид: 
или 
откуда 
и a > 0 уравнение 
принимает вид 
откуда x = 0 или 
принимает вид 
откуда 
или 
условие 
При положительных a корень 
условие 
и 
не равны нулю при положительных a и совпадают при
первое уравнение системы принимает вид: 
или 
откуда 
принимает вид 
откуда 
или 
При положительных a корень 
условие 
не равны нулю при положительных a и совпадают при
Двойное неравенство 
задает горизонтальную полосу, ограниченную прямыми 
включая границы. Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
не пересекает дугу окружности в точке, отличной от начала координат, а значит, найденные значения параметра не являются искомыми.
или при 
за исключением ранее отброшенных точек 
левая часть первого уравнения системы не определена, а при 
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
для которых выполнено условие 
условие 
условие 
первое уравнение системы принимает вид:
откуда x = a или y = a. 
для которых выполнено условие 
принимает вид 
условие 
условие 
является корнем первого уравнения системы, то решениями системы являются две пары чисел 
и 
Значит, система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения положителен, и 
Эти корни — корни уравнения 
— должны быть отличны от корней уравнения 
Подставляя 
получаем 
откуда 
и 
Возвращаясь к уравнению 
находим запрещенные значения параметра: 
и 
Следовательно, искомые значения параметра суть 
для которых выполнено условие 
уравнение 
задает на плоскости Oxa пару прямых l1 и l2, заданных уравнениями a = 3x и a = −3x соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a = 0 и имеет два корня при 
задает пару прямых m1 и m2, заданных уравнениями a = x + 4 и a − x − 4 соответственно.
выполнено для корней уравнения 
при всех a, кроме a = −6, a = −3, a = 3 или a = 6.
с центром в точке (1; 1).
имеет ровно один корень.
проводится к 
при условии 
и задает верхнюю полуокружность радиуса 
с центром в 
приводится к 
при условии 
и задает верхнюю полуокружность радиуса 
Ее центр перемещается по прямой 
крайняя точка первой полуокружности лежит на второй, а при 
наоборот - крайняя точка второй лежит на первой. Отсюда получаем ответ 
имеет ровно два различных решения.
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, уравнение
то уравнение (⁎) равносильно уравнению 
что не удовлетворяет условию задачи. Если 
то 
