Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548492

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

 дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Корнями исходного уравнения являются те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель. Числитель имеет два разных корня при всех a не равно 0. Эти корни — корни уравнения 9x в квадрате = a в квадрате  — должны быть отличны от корней уравнения x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате = 0. Подставляя a в квадрате , получаем x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус 9x в квадрате не равно 0, откуда x не равно минус 1, и x не равно 2. Возвращаясь к уравнению a в квадрате = 9x в квадрате , находим запрещенные значения параметра: a в квадрате не равно 9 и a в квадрате не равно 36. Следовательно, искомые значения параметра суть a не равно 0, a не равно \pm 3, a не равно \pm 6.

 

Ответ: a не равно 0, a не равно \pm 3, a не равно \pm 6.

 

Приведем другое решение.

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения 9x в квадрате минус a в квадрате =0, для которых выполнено условие x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате не равно 0.

Поскольку 9x в квадрате минус a в квадрате = левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , уравнение  9x в квадрате минус a в квадрате =0 задает на плоскости Oxa пару прямых l1 и l2, заданных уравнениями a = 3x и a = −3x соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a = 0 и имеет два корня при a не равно 0.

Поскольку

x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате = левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка ,

уравнение x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате задает пару прямых m1 и m2, заданных уравнениями a = x + 4 и a − x − 4 соответственно.

Координаты точки пересечения прямых l1 и m1 являются решением системы уравнений:

 система выражений a=3x,a=x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x=2, a=6. конец системы .

Значит, прямые l1 и m1 пересекаются в точке (2; 6).

Координаты точки пересечения прямых l1 и m2 являются решением системы уравнений:

 система выражений a=3x,a= минус x минус 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 1, a= минус 3. конец системы .

Значит, прямые l1 и m2 пересекаются в точке (−1; −3).

Координаты точки пересечения прямых l2 и m1 являются решением системы уравнений:

 система выражений a= минус 3x,a=x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 1, a=3. конец системы .

Значит, прямые l2 и m1 пересекаются в точке (−1; 3).

Координаты точки пересечения прямых l2 и m2 являются решением системы уравнений:

 система выражений a= минус 3x,a= минус x минус 4 конец системы . равносильно система выражений x=2, a= минус 6. конец системы .

Значит, прямые l2 и m2 пересекаются в точке (2; −6).

Следовательно, условие x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате не равно 0 выполнено для корней уравнения 9x в квадрате минус a в квадрате =0 при всех a, кроме a = −6; a = −3; a = 3 или a = 6.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при a < −6; −6 < a < −3; −3 < a < 0; 0 < a < 3; 3 < a < 6; a > 6.

 

Ответ: левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 6; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Задания 18 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Tofig Aliev 07.05.2021 18:15

Приветствую.

Можно рассуждать проще.

Уравнение 9x^2 = a^2 всегда имеет как минимум одно решение 9a^2. При a != 0 у нас есть 2 различных решения. Из уравнения следует, что |a| = 3x или a = 3x и a = -3x

Подставляя в уравнение x^2 + 8x + 16 - a^2 = 0 вместо "a" эти выражения находим, когда знаменатель обращается в нуль. Исключаем эти "а" (в том числе а = 0, когда ед.решение) и записываем ответ.

Служба поддержки

Привели это решение.