ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 548492 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Корнями исходного уравнения являются те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель. Числитель имеет два разных корня при всех $a не равно 0.$ Эти корни  — корни уравнения $9x в квадрате = a в квадрате$   — должны быть отличны от корней уравнения $x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате = 0.$ Подставляя $a в квадрате ,$ получаем $x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус 9x в квадрате не равно 0,$ откуда $x не равно минус 1$ и $x не равно 2.$ Возвращаясь к уравнению $a в квадрате = 9x в квадрате ,$ находим запрещенные значения параметра: $a в квадрате не равно 9$ и $a в квадрате не равно 36.$ Следовательно, искомые значения параметра суть $a не равно 0,$ $a не равно \pm 3,$ $a не равно \pm 6.$

Ответ: $a не равно 0,$ $a не равно \pm 3,$ $a не равно \pm 6.$

Приведем другое решение.

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения $9x в квадрате минус a в квадрате =0,$ для которых выполнено условие $x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате не равно 0.$

Поскольку $9x в квадрате минус a в квадрате = левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка ,$ уравнение $9x в квадрате минус a в квадрате =0$ задает на плоскости Oxa пару прямых l₁ и l₂, заданных уравнениями a  =  3x и a  =  −3x соответственно. Значит, это уравнение имеет один корень при a  =  0 и имеет два корня при $a не равно 0.$

Поскольку

$x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате = левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка ,$

уравнение $x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате$ задает пару прямых m₁ и m₂, заданных уравнениями a  =  x + 4 и a − x − 4 соответственно.

Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₁ являются решением системы уравнений:

$система выражений a=3x,a=x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x=2, a=6. конец системы .$

Значит, прямые l₁ и m₁ пересекаются в точке (2; 6).

Координаты точки пересечения прямых l₁ и m₂ являются решением системы уравнений:

$система выражений a=3x,a= минус x минус 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 1, a= минус 3. конец системы .$

Значит, прямые l₁ и m₂ пересекаются в точке (−1; −3).

Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₁ являются решением системы уравнений:

$система выражений a= минус 3x,a=x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 1, a=3. конец системы .$

Значит, прямые l₂ и m₁ пересекаются в точке (−1; 3).

Координаты точки пересечения прямых l₂ и m₂ являются решением системы уравнений:

$система выражений a= минус 3x,a= минус x минус 4 конец системы . равносильно система выражений x=2, a= минус 6. конец системы .$

Значит, прямые l₂ и m₂ пересекаются в точке (2; −6).

Следовательно, условие $x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате не равно 0$ выполнено для корней уравнения $9x в квадрате минус a в квадрате =0$ при всех a, кроме a  =  −6, a  =  −3, a  =  3 или a  =  6.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при a < −6; −6 < a < −3; −3 < a < 0; 0 < a < 3; 3 < a < 6; a > 6.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 6; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источники:

Задания 18 ЕГЭ–2020;

ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Tofig Aliev 07.05.2021 18:15

Приветствую.

Можно рассуждать проще.

Уравнение 9x^2 = a^2 всегда имеет как минимум одно решение 9a^2. При a != 0 у нас есть 2 различных решения. Из уравнения следует, что |a| = 3x или a = 3x и a = -3x

Подставляя в уравнение x^2 + 8x + 16 - a^2 = 0 вместо "a" эти выражения находим, когда знаменатель обращается в нуль. Исключаем эти "а" (в том числе а = 0, когда ед.решение) и записываем ответ.

Служба поддержки

Привели это решение.