Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548561

Найдите все положительные значения параметра a, при которых система

 система выражений корень из 4x минус x в квадрате = корень из 4ay минус a в квадрате y в квадрате ,y=x в квадрате конец системы .

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при x < 0 и при x > 4 левая часть первого уравнения системы не определена, а при 0 меньше или равно x меньше или равно 4 первое уравнение системы принимает вид: 4x минус x в квадрате =4ay минус a в квадрате y в квадрате , или  левая круглая скобка ay минус x правая круглая скобка левая круглая скобка ay плюс x минус 4 правая круглая скобка =0, откуда  ay минус x=0,ay плюс x минус 4=0.

При y=x в квадрате и a > 0 уравнение ay минус x=0 принимает вид ax в квадрате минус x=0, откуда x = 0 или x= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби .

При y=x в квадрате и a > 0 уравнение ay плюс x минус 4=0 принимает вид ax в квадрате плюс x минус 4=0, откуда x= дробь: числитель: минус корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби или x= дробь: числитель: корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби .

Для корня x = 0 условие 0 меньше или равно x меньше или равно 4 выполнено. Для корня x= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби условие 0 меньше или равно x меньше или равно 4 выполнено при a больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . При положительных a корень x= дробь: числитель: минус корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби отрицательный. Для корня x= дробь: числитель: корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби условие 0 меньше или равно x меньше или равно 4 при положительных a принимает вид:

0 меньше или равно дробь: числитель: корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби меньше или равно 4 равносильно система выражений a больше или равно 0,a в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно a больше или равно 0.

Корни  дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби и  дробь: числитель: корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби не равны нулю при положительных a и совпадают при

 дробь: числитель: корень из 1 плюс 16a минус 1, знаменатель: 2a конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно три различных решения при  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 548568: 548561 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 409, Задания 18 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Системы с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев