Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548819
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра α, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние x в сте­пе­ни 4 синус альфа плюс 2 x в квад­ра­те ко­си­нус альфа плюс синус альфа =0 имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x в квад­ра­те =t. Для того чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно 2 раз­лич­ных корня, урав­не­ние

t в квад­ра­те синус альфа плюс 2t ко­си­нус альфа плюс синус альфа =0 левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

долж­но иметь ровно один по­ло­жи­тель­ный ко­рень.

Если синус альфа =0, то урав­не­ние (⁎) рав­но­силь­но урав­не­нию t=0, что не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Если синус альфа не равно 0, то

t в квад­ра­те синус альфа плюс 2t ко­си­нус альфа плюс синус альфа =0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 2t\ctg альфа плюс 1=0.

По тео­ре­ме Виета про­из­ве­де­ние кор­ней по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равно 1. Зна­чит, это урав­не­ние имеет ровно один по­ло­жи­тель­ный ко­рень толь­ко в слу­чае, когда его дис­кри­ми­нант равен нулю и абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы, яв­ля­ю­щей­ся гра­фи­ком левой части урав­не­ния, по­ло­жи­тель­на:

си­сте­ма вы­ра­же­ний \ctg в квад­ра­те альфа минус 1=0, минус \ctg альфа боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний \ctg альфа =\pm1,\ctg альфа мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но \ctg альфа = минус 1 рав­но­силь­но альфа = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 548819: 549118 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Урав­не­ния выс­ших сте­пе­ней, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025