Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548819

Найдите все значения параметра α, при каждом из которых уравнение x в степени 4 синус альфа плюс 2 x в квадрате косинус альфа плюс синус альфа =0 имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Пусть x в квадрате =t. Для того, чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных корня, уравнение

t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 левая круглая скобка * правая круглая скобка

должно иметь ровно один положительный корень.

Если  синус альфа =0, то уравнение (⁎) равносильно уравнению t=0, что не удовлетворяет условию задачи. Если  синус альфа не равно 0, то

t в квадрате синус альфа плюс 2t косинус альфа плюс синус альфа =0 равносильно t в квадрате плюс 2t\ctg альфа плюс 1=0.

По теореме Виета произведение корней полученного квадратного уравнения равно 1. Значит, это уравнение имеет ровно один положительный корень только в случае, когда его дискриминант равен нулю и абсцисса вершины параболы, являющейся графиком левой части уравнения, положительна:

 система выражений \ctg в квадрате альфа минус 1=0, минус \ctg альфа больше 0 конец системы . равносильно система выражений \ctg альфа =\pm1,\ctg альфа меньше 0 конец системы . равносильно \ctg альфа = минус 1 равносильно альфа = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

Ответ:  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 548819: 549118 Все

Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 2, Задания 18 ЕГЭ–2020
Методы алгебры: Введение замены