PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше −4?
Решение. Заметим, что наименьшее значение функции больше −4, если все значения функции больше −4. Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда задачу можно переформулировать так: требуется найти все значения a, при каждом из которых неравенство
Запишем неравенство в виде
и построим графики левой и правой частей неравенства 
и 
График функции 
— парабола с отраженной отрицательной частью, перемещающаяся по оси абсцисс, с корнями 
и 
График функции 
— изображённая на рисунке ломаная (выделена синим цветом).
Для выполнения неравенства (*) необходимо, чтобы все точки графика 
располагались выше графика 
Граничные способы подходящего расположения подвижного графика изображены на рисунке зелёным и красным цветом. Определим значения параметра для этих границ.
Левую границу найдём из условия касания прямой, задаваемой уравнением 
и параболы, задаваемой уравнением 
Они имеют единственную общую точку, а значит, уравнение 
имеет единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант полученного уравнения:
Он обращается в нуль при 
Правая граница достигается, если больший корень функции равен 4: 
откуда 
Таким образом, неравенство (*) выполняется при всех значениях x, если 
Ответ:
Примечание.
По просьбе Сергея Волкова покажем, как определить, не пользуясь рисунком, какое условие надо рассматривать для определения границы расположения подвижного графика: условие касания параболы и прямой или условие прохождения прямой через корень параболы.
Парабола задается уравнением Заметим, что 
причем 
и производная возрастает на всей числовой оси. Для касания параболы и прямой необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной. Следовательно, если угловой коэффициент прямой меньше −2, то для определения граничного условия надо рассматривать касание прямой и левой ветви параболы. Если угловой коэффициент прямой больше 2, то необходимо рассматривать касание прямой и правой ветви параболы. Если же угловой коэффициент прямой находится в пределах от −2 до 2, то касание прямой и параболы будет в точке, расположенной на отрицательной части параболы, но эта часть симметрично отображена относительно оси абсцисс, следовательно, необходимо рассматривать условие прохождения прямой через корень параболы.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены не все значения a | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
выполняется хотя бы для одного значения x.
и 
— парабола с отражённой положительной частью с корнями 
и 
Граничные способы подходящего расположения подвижного графика 
проходит через точку K (−1; 0). Имеем: 
откуда 
в некоторой точке M. Графики имеют единственную общую точку, а значит, уравнение 
имеет единственное решение. Запишем его в виде 
и найдём дискриминант этого уравнения: 
или 
Из рисунка видно, что при a = −1 графики 
не имеют общих точек, при a = −5 графики касаются.
выполняется хотя бы для одного значения x:
графики функций g(x) и t(x) пересекаются, и найдутся точки графика функций t(x), расположенные ниже соответствующих точек графика функции g(x); значит, при этих значениях параметра а условие задачи выполнено;
ни одна точка графика функции t(x) не находится ниже графика функции g(x); значит, такие значения параметра не подходят;
графики функций g(x) и t(x) пересекаются, и найдутся точки графика функций t(x), расположенные ниже соответствующих точек графика функции g(x); значит, при этих значениях параметра а условие задачи выполнено.
модуль раскрывается «со знаком минус»: 
На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. 
или 
модуль раскрывается «со знаком плюс»: 
График функции на этих лучах представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы может лежать левее отрезка [1; 3], правее этого отрезка или на самом отрезке. Рассмотрим эти случаи.
и 
то есть если 
Оно равно:
получаем: 
а наименьшее значение функции достигается на концах отрезка. Найдем 
и 
Наименьшее значение функции может быть меньше −2, только если 
то есть при 
Учитывая ограничения на a, получаем: 
прямой 
должен быть больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (3; 0). Имеем: 
в виде 
и найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: 
Парабола имеет с касательной единственную общую точку, поэтому касанию соответствует дискриминант, равный нулю, откуда a = 0 или a = 4. Подходит только положительный корень, соответствующий отрицательному угловому коэффициенту прямой.
аналогичная переформулировка не будет равносильна изначальной задаче. 
было меньше двух, необходимо и достаточно, чтобы неравенство 
имело решение. Запишем его в следующем виде:
и 
тогда 
График левой части неравенства — парабола с нулями 
и отражённой отрицательной частью. График правой части — перевёрнутая «галочка» модуля поднятая на 2 единицы вверх с вершиной в точке 
которая в зависимости от a перемещается вдоль прямой 
Построим их графики. 
где 
и 
— случаи касания «галочки» и параболы 
Уравнение 
должно иметь единственный корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим 
откуда 
должно иметь один корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим 
откуда 
имеет единственное решение на отрезке 
определённой на отрезке 
Найдём множество значений функции на данном отрезке. 
Решим уравнение 
обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.
на отрезке 
возрастает, принимая значения из отрезка 
а на отрезке 
убывает, принимая значения из отрезка 
Поэтому уравнение имеет единственное решение при 
и 
где 
и поскольку функция 
достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция 
в точке 
Остается найти значения функции 
Тогда 
а уравнение 
точки 
и 
соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол 
и 
соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке 
тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением 
имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.
проходит через точку В при 
и касается окружности ω при 
Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала 
и 
и 
то есть единственное решение уравнения 
Приведем его к виду 
и найдем дискриминант 
который обращается в нуль при 
Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым, 
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение, найдем точки пересечения окружности и параболы: 
и 
— точка касания. Для найденных точек числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно.
все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу 
точки которой соответствуют нулям знаменателя. 
в уравнение 
и решая полученное уравнение на x, найдем абсциссы точки пересечения ломаной и параболы: 
и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем 
или 
найдём из уравнения 
Получаем 
и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем 
Получаем 
и 
найдём из уравнения 
или 
или 
для которых выполнено условие 
задаёт на плоскости Oxa параболу ω, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке 
Значит, это уравнение имеет два корня при 
имеет один корень при 
и не имеет корней при 
задаёт параболу 
являются решениями системы уравнений:
выполнено для корней уравнения 
при всех a, кроме a = −1, a = 0 и a = 2.
и 
были различны, а также ни одно из них не равнялось 
Имеем:
то исходное уравнение не имеет решений. Действительно, корень первого уравнения совокупности не удовлетворяет ОДЗ второго уравнения совокупности, а само второе уравнение не имеет решений, поскольку при условии 
его левая часть положительна, а правая — отрицательна. 
рассмотрим второе уравнение совокупности. Изобразим на координатной плоскости xOy графики функций 
и 
Первый график — прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через начало координат. Второй график является графиком функции 
сдвинутым вдоль оси абсцисс на a единиц. Из графика видим, что на отрезке [0; 1] уравнение имеет решение 0 при 
уравнение имеет единственное решение.
при 
и 
при 
— квадратичная функция, график которой парабола с ветвями вверх. Для того, чтобы оба корня уравнения системы (⁎) лежали в интервале 
необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
множества значений параметра, возможно с исключением точек 
и/или 
Производная этой функции равна 
Значит, функция f(x) возрастает на отрезке 
убывает на отрезке 
и достигает максимума в точке 
Значит, 
Таким образом, уравнение 
имеет на отрезке 
ровно один корень при 
и 
имеет ровно два корня при 
и не имеет корней при остальных значениях а. 
