ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526018 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3|x плюс a| плюс |x в квадрате минус x минус 2|$

меньше 2.

Спрятать решение

Решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Поэтому при любом значении параметра она достигает своего наименьшего значения. Тогда задачу можно переформулировать так: для того чтобы наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3|x плюс a| плюс |x в квадрате минус x минус 2|$ было меньше двух, необходимо и достаточно, чтобы неравенство $f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 2$ имело решение. Запишем его в следующем виде:

$|x в квадрате минус x минус 2| меньше 2 минус 3|x плюс a|.$

Рассмотрим функции $h левая круглая скобка x правая круглая скобка =|x в квадрате минус x минус 2|$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 минус 3|x плюс a|,$ тогда $h левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ График левой части неравенства  — парабола с нулями $x_1= минус 1,$ $x_2=2$ и отражённой отрицательной частью. График правой части  — перевёрнутая «галочка» модуля поднятая на 2 единицы вверх с вершиной в точке $левая круглая скобка минус a;2 правая круглая скобка ,$ которая в зависимости от a перемещается вдоль прямой $y=2.$ Построим их графики.

Нетрудно заметить, что неравенство имеет решение, когда $a принадлежит левая круглая скобка a_2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;a_1 правая круглая скобка ,$ где $a_1$ и $a_2$   — случаи касания «галочки» и параболы $y=x в квадрате минус x минус 2.$

Найдём $a_1.$ Уравнение $x в квадрате минус x минус 2=2 минус 3 левая круглая скобка x плюс a_1 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 2x плюс 3a_1 минус 4=0$ должно иметь единственный корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим $a_1:$ $D=4 минус 4 левая круглая скобка 3a_1 минус 4 правая круглая скобка =20 минус 12a_1=0,$ откуда $a_1= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Аналогично для $a_2$ уравнение $x в квадрате минус x минус 2=2 плюс 3 левая круглая скобка x плюс a_2 правая круглая скобка равносильно x в квадрате минус 4x минус левая круглая скобка 3a_2 плюс 4 правая круглая скобка =0$ должно иметь один корень. Найдём дискриминант этого уравнения и выразим $a_2:$ $D=16 плюс 4 левая круглая скобка 3a_2 плюс 4 правая круглая скобка =32 плюс 12a_2=0,$ откуда $a_2= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, получаем ответ $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно.	3
С помощью верного рассуждения получены не все значения a.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 4;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь