ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 526329 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x минус a, знаменатель: 15x в квадрате минус 8ax плюс a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x минус a, знаменатель: 15x в квадрате минус 8ax плюс a в квадрате конец дроби =0 равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x минус a=0,15x в квадрате минус 8ax плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a=x в квадрате плюс 4x, левая круглая скобка 5x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a=x в квадрате плюс 4x,a не равно 3x ,a не равно 5x. конец системы .$ $дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x минус a, знаменатель: 15x в квадрате минус 8ax плюс a в квадрате конец дроби =0 равносильно система выражений x в квадрате плюс 4x минус a=0,15x в квадрате минус 8ax плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a=x в квадрате плюс 4x, левая круглая скобка 5x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a=x в квадрате плюс 4x,a не равно 3x ,a не равно 5x. конец системы .$

Изобразим решение в системе координат xOa. Графиком системы, а значит, и графиком исходного уравнения является парабола с выколотыми точками.

Ординаты точек пересечения параболы $a=x в квадрате плюс 4x$ и прямой $a=3x$ найдём из уравнения $a= дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 4a, знаменатель: 3 конец дроби .$ Получаем $a=0$ или $a= минус 3.$

Ординаты точек пересечения параболы $a=x в квадрате плюс 4x$ и прямой $a=5x$ найдём из уравнения $a= дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби плюс дробь: числитель: 4a, знаменатель: 5 конец дроби .$ Получаем $a=0$ или $a=5.$

Ровно два решения исходное уравнение имеет при $минус 4 меньше a меньше минус 3,$ $минус 3 меньше a меньше 0,$ $0 меньше a меньше 5,$ $a больше 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 4; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки −4.	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек −3; 5 и/или −4. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения.	2
Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 526294: 526329 Все

Источники:

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 316;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ, Перебор случаев, Разложение на множители

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь