Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Решим второе уравнение системы.
При a = 0 исходная система имеет единственное решение — 
При 
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не является решением исходной системы.
При x = 1 получаем:
Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
При 
получаем:
Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:
получаем 
или 
Пара чисел (1;1) является решением исходной системы при 
то есть a = −3.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, возможно, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  и при этом рассмотрен случай  | 3 |
С помощью верного рассуждения получены промежутки  и  возможно, c включением точек и/или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один и случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка и  возможно, с включением граничных точек.ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
откуда 
получаем:
то есть при 
и/или 
, и при этом рассмотрен случай 
и 
возможно, с включением точек 
и/или 
, или два промежутка 
и 
возможно, с включением граничных точек.
Это уравнение задает окружность ω радиусом 1 с центром в точке 
Второе уравнение системы задает пару прямых 
пересекающихся в точке 
равно числу корней квадратного уравнения 
при 
то есть при 
и 
и/или 
или возможно, с включением граничных точек и/или одной из точек a = −1 или a = −0,6.
неограниченно возрастает на области определения. Поэтому уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции f(x) не превосходит единицы.
при 
Рассмотрим два случая: 
и 
При 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
функция f(x) определена на промежутке 
и ее наименьшее значение равно 
Получаем неравенство 
откуда 
Учитывая условие 
получаем 
или 
, возможно, с исключением точки 
.
при одном из условий 
или 
, возможно, с включением граничных точек
; 
; 
или 
, возможно, с включение граничных точек
Это уравнение задает окружность ω радиусом 3 с центром в точке 
Второе уравнение системы задает пару прямых 
то есть при 
и/или 
, возможно, с включением граничных точек и/или одной из точек a = 0 или a = 1,2
и 
а при 
пару параллельных прямых l1 и l1, заданных уравнениями 
и 
соответственно.
, 
, 
и/или 
, но неверно определены промежутки значений a
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек
а при 
и 
соответственно.
и/или 
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек.
и 
и/или 
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек.
и 
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек
имеет хотя бы одно решение.
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2] и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
и/или 
при 
и задача сведена к решению двойного неравенства 
и получено, что 
в силу сделанных оценок множеством значений функции t(x) является отрезок [0; 1]. Переформулируем задачу: требуется найти все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
и найдём множество её значений на этом отрезке. Для этого найдем производную, отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:
на отрезке, будучи непрерывной на нем. Следовательно, она принимает все значения, лежащие между значениями на концах отрезка, и только их. Поскольку
на отрезке 
Решим это двойное неравенство:
при 
и задача сведена к решению двойного неравенства 
и рассмотрим уравнение: 
а потому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда двойное неравенство
при 
Это уравнение имеет положительное решение 
а значит, оценка точная. Для отрицательных x получаем:
Это уравнение имеет отрицательное решение 
а значит, и эта оценка точная. Таким образом, уравнение имеет решения, если
и только они. Поэтому исходное уравнение равносильно следующим системам:
с центрами в точках 
и 
Изобразим их на рисунке. 
и/или 
Тогда первая строчка системы выглядит как 
а вся система имеет ровно два различных решения. Значит, 
Подставим поочередно оба этих значения в первую строчку системы и решим квадратное уравнение относительно x.
То есть, уравнение-следствие имеет два корня при 
То есть уравнение-следствие имеет два корня при 
и получим ответ: 
