Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 520985

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

 левая круглая скобка 2x минус x в степени 2 правая круглая скобка в степени 2 минус 4 корень из { 2x минус x в степени 2 }=a в степени 2 минус 4a.

имеет хотя бы один корень.

Решение.

Пусть t= корень из { 2x минус x в степени 2 }, тогда 0 меньше или равно t\le1, поскольку наибольшее значение выражения 2x минус x в степени 2 равно 1, а при 2x минус x в степени 2 меньше 0 выражение  корень из { 2x минус x в степени 2 } не определено.

Рассмотрим функцию f(t)=t в степени 4 минус 4t на отрезке [0;1]. Производная этой функции f'(t)=4t в степени 3 минус 4, поэтому f(t) убывает на отрезке [0;1]. Таким образом, функция принимает на отрезке [0;1] все значения от f(1)= минус 3 до f(0)=0.

Значит, исходное уравнение имеет хотя бы один корень, когда выполнено неравенство  минус 3 меньше или равно a в степени 2 минус 4a\le0, откуда 0 меньше или равно a\le1; 3 меньше или равно a\le4.

 

Ответ: 0 меньше или равно a\le1;3 меньше или равно a\le4.


Аналоги к заданию № 508237: 520985 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Резервный день 25.06.2018. Вариант 502 (C часть)., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2018
Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности