PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Решение. Пусть 
тогда
Рассмотрим два случая.
Случай 1: уравнение (⁎) имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене х на −x, а потому если число 
является решением этого уравнения, то и число 
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях b. При 
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому не подходит. Если 
то
Раскроем модули: на отрезке [0; 2] уравнение принимает вид 
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
Таким образом, при 
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень
Случай 2: уравнение (⁎) не имеет решений. Поскольку значения 
и уже разобраны, осталось рассмотреть значения 
и 
Обозначим 
Рассмотрим случай 
Если 
то
то есть уравнение решений не имеет. Если 
то
в этом случае тоже нет решений.
Рассмотрим случай 
В этом случае верны неравенства
и
поскольку 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
Таким образом, уравнение (⁎) имеет единственное решение или не имеет решений при 
и 
то есть при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
имеет более трех различных решений.
Она возрастающая, как сумма двух возрастающих функций. Значит, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение можно записать в виде 
и оно равносильно уравнению 
тогда каждому положительному значению y соответствует два различных значения x, значению 
соответствует 
должно иметь два различных положительных корня. Это выполняется при 
тогда
откуда 
или 
При 
уравнение имеет единственное решение. При 
уравнение решений не имеет. 
откуда 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения.
дает два различных решения исходного уравнения. Чтобы оно не имело других решений, корень 
должен совпадать с числом −3 , либо не должен давать решений. 
то:
Находим:
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение имеет одно решение. При 
уравнение решений не имеет. 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
при
уравнение 
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
тогда 
имеем 
то есть 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
достигается, если
Получаем:
тогда 
Уравнение имеет два решения при 
что верно при всех t.
откуда 
Найденному значению t соответствуют два корня исходного уравнения. 
и при 
тогда исходное уравнение принимает вид 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а значения 
дают два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
и 
Имеем:
и/или 
где 
тогда 
Раскроем модули:
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, либо должно иметь единственное решение, большее чем 4. Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
Имеем:
и/или 
где 
тогда 
Раскроем модули:
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее чем 2. Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
и/или 
где 
тогда 
Раскроем модули:
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 
либо должно иметь единственное решение, большее чем 
Рассмотрим эти случаи.
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
отрицательно:
и 
Имеем:
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
и 
Получаем
Тогда 
и 
или 
исходное уравнение имеет два решения, при 
или 
исходное уравнение имеет бесконечное число решений, при 
исходное уравнение не имеет решений.
тогда 
Раскроем модули:
значение функции 
равно 
На 
функция 
причем каждое ровно один раз. Поскольку исходное уравнение должно иметь ровно два различных корня, квадратное уравнение 
должно иметь два решения, каждое из которых отлично от −4. Тогда 
и 
:
имеют с графиком первого уравнения (выделено оранжевым) ровно две общие точки. 
имеет с графиком системы
