Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 681170
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

a левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 5 левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 9 a плюс 15 = 0

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем за­ме­ну x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби = t, тогда

x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби = t рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус tx плюс 1 = 0.

Дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го урав­не­ния равен t2 − 4. Урав­не­ние имеет два ре­ше­ния при t в квад­ра­те минус 4 боль­ше 0, от­ку­да t мень­ше минус 2 или t боль­ше 2. При t = \pm 2 урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. При минус 2 мень­ше t мень­ше 2 урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

Поль­зу­ясь вве­ден­ной за­ме­ной, за­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде

at в квад­ра­те плюс 5 t минус 9a плюс 15 = 0.

При a  =  0 имеем: 5t плюс 15 = 0, от­ку­да t = минус 3. Сле­до­ва­тель­но, ис­ход­ное урав­не­ние имеет два ре­ше­ния.

При a  ≠  0 урав­не­ние яв­ля­ет­ся квад­рат­ным, его дис­кри­ми­нант равен

D = 25 минус 4a левая круг­лая скоб­ка 15 минус 9a пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 6a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

а корни равны

t_1 = дробь: чис­ли­тель: минус 5 минус левая круг­лая скоб­ка 6a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2a конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 6a, зна­ме­на­тель: 2a конец дроби = минус 3,

t_2 = дробь: чис­ли­тель: минус 5 плюс левая круг­лая скоб­ка 6a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби .

Ко­рень t_1 = минус 3 дает два раз­лич­ных ре­ше­ния ис­ход­но­го урав­не­ния. Чтобы оно не имело дру­гих ре­ше­ний, ко­рень t_2 дол­жен сов­па­дать с чис­лом −3 , либо не дол­жен да­вать ре­ше­ний.

Если t_2 = минус 3, то:

дробь: чис­ли­тель: 3a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби = минус 3 рав­но­силь­но 3a минус 5 = минус 3a рав­но­силь­но a = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Чтобы ко­рень t_2 не давал ре­ше­ний, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия минус 2 мень­ше t мень­ше 2. На­хо­дим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби боль­ше минус 2, дробь: чис­ли­тель: 3a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a конец дроби боль­ше 0, дробь: чис­ли­тель: a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше 0, a боль­ше 1, конец си­сте­мы . 0 мень­ше a мень­ше 5 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 1 мень­ше a мень­ше 5.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0 ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка 0 ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 681318: 681170 681171 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025