Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 563674

Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что \angle MHN = 90 градусов.

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что сумма углов MHN и MCN равна 180°, поэтому четырехугольник CMHN вписан в окружность. Углы HMN и HCN равны как вписанные. Углы HCN и CAB равны, потому что каждый из них равен 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ABC. Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Это и требовалось доказать.

б) Заметим, что

\angle CMH=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CNH=\angle BNH,

а \angle MCH=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A=\angle B. Тогда треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что

 дробь: числитель: CM, знаменатель: BN конец дроби = дробь: числитель: MH, знаменатель: HN конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби = 2.

Из этой цепочки равенств получаем, что BN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , а тогда CN=2 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Примечание.

Виктор Мосяндз прислал нам следующий комментарий. Вычисляя AB = корень из 20, CH = дробь: числитель: AC умножить на BC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби корень из 5 и BH = корень из BC в квадрате минус CH в квадрате = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , а также зная BC = 2 и BN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , можно заметить, что BN умножить на BC не равно BH в квадрате . Из этого следует, что прямая AB не является касательной к окружности (иначе бы равенство было верным), а потому прямая АВ помимо точки H имеет с окружностью еще одну точку, лежащую на отрезке АС.

Тем не менее в решении нет ошибки: мы не изучали взаимное расположение окружности и прямой, поскольку оно не влияло на ход наших рассуждений.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 563681: 563656 563674 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 16 ЕГЭ–2021