Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что 
a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.
б) Найдите CN, если BC = 2, AC = 4, CM = 1.
а) Заметим, что сумма углов MHN и MCN равна 180°, поэтому четырехугольник CMHN вписан в окружность. Углы HMN и HCN равны как вписанные. Углы HCN и CAB равны, потому что каждый из них равен 
Таким образом, треугольники HMN и CAB подобны по двум углам. Это и требовалось доказать.
б) Заметим, что
а 
Тогда треугольники CMH и BNH подобны по двум углам, причем из пункта а) следует, что
Из этой цепочки равенств получаем, что 
а тогда 
Ответ: 
Примечание.
Виктор Мосяндз прислал нам следующий комментарий. Вычисляя 
и 
а также зная 
и 
можно заметить, что 
Из этого следует, что прямая AB не является касательной к окружности (иначе бы равенство было верным), а потому прямая АВ помимо точки H имеет с окружностью еще одну точку, лежащую на отрезке АB.
Тем не менее в решении нет ошибки: мы не изучали взаимное расположение окружности и прямой, поскольку оно не влияло на ход наших рассуждений.