Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
а) Пусть 
тогда 
Углы 
и
вертикальные и равны, тогда 
и 
Тогда 
Таким образом, треугольники ABM и BCN равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BM = BN.
б) Точки M, C, N и A лежат на одной окружности. Рассмотрим треугольник AMN, вписанный в окружность, в котором
Рассмотрим треугольник ACM, который также вписан в окружность, в котором
Таким образом,
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б) Реян Темиркаяевой (Симферополь).
Трапеция ABCN — равнобедренная, так как основания BC и AN параллельны, а боковые стороны AB и CN равны, cледовательно, 
Пусть 
тогда 
Пусть 
тогда 
так как треугольники MAB и NBC равны. Таким образом, 
и 
Так как 
то 
следовательно, 
и
Найдем косинус угла:
Вычислим:
Следовательно, 