Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 563551
i

Дана тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD, впи­сан­ная в окруж­ность. Про­дол­же­ние вы­со­ты тра­пе­ции BH пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и AK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те AD, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен 6, угол BAC со­став­ля­ет 30°, от­но­ше­ние пло­ща­дей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AD и CK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку ос­но­ва­ния тра­пе­ции AD и BC па­рал­лель­ны, а её вы­со­та BH\perp AD, то BH\perp BC, а зна­чит, впи­сан­ный угол KBC, равны 90°, опи­ра­ет­ся на диа­метр CK, на ко­то­рый опи­ра­ет­ся и впи­сан­ный угол CAK . По­это­му AC\perp AK.

б)  Впи­сан­ные углы CKB и CAB опи­ра­ют­ся на одну дугу, а сле­до­ва­тель­но, равны. По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KBC катет BC лежит на­про­тив угла 30°, а зна­чит, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы CK, то есть BC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CK=R=6, а катет

BK=CK умно­жить на ко­си­нус 30 гра­ду­сов=2R умно­жить на \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ках KBC и KHN угол K общий, а углы KHN и KBC пря­мые, и, зна­чит, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных тре­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му

дробь: чис­ли­тель: S_KBC, зна­ме­на­тель: S_KHN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_KHN плюс S_BCNH, зна­ме­на­тель: S_KHN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_KHN плюс 35S_KHN, зна­ме­на­тель: S_KHN конец дроби =36= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: KB, зна­ме­на­тель: KH конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Сле­до­ва­тель­но, 6=\dfrac6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та KH, то есть KH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а зна­чит, BH=BK минус KH=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Так как тра­пе­ция впи­са­на в окруж­ность, она рав­но­бед­рен­ная, по­это­му вы­со­та BH делит боль­шее ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки AH=\dfracAD минус BC2 и HD=\dfracAD плюс BC2. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о про­из­ве­де­нии от­рез­ков пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд окруж­но­сти, по­лу­чим AH умно­жить на HD=BH умно­жить на HK, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: AD в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Тогда AD в квад­ра­те минус 36=60, по­это­му AD в квад­ра­те =96, то есть AD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: AD=4 ко­рень из 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 563577: 563551 Все

Источники:
Методы геометрии: Свой­ства хорд, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти и четырёхуголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, От­но­ше­ние длин, пло­ща­дей, объ­е­мов по­доб­ных фигур
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025