Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 563635

Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N

такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.

а) Докажите, что BM = BN.

б) Найдите MN, если AC = 7,  синус \angle BAD= дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть \angle CDN = \angle CND = альфа , тогда  \angle DCN = 180 градусов минус 2 альфа . Углы CDN и ADM равны как вертикальные, тогда \angle ADM = \angle AMD = альфа и \angle MAD = 180 градусов минус 2 альфа . Тогда \angle BAM = \angle BCN = 180 градусов минус альфа . Таким образом, треугольники ABM и BCN равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, BM = BN.

б) Равные углы MAN и NCM опираются на отрезок MN, значит, точки M, C, N и A лежат на одной окружности. Рассмотрим треугольник AMN, вписанный в окружность. В нем  дробь: числитель: MN, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка конец дроби = 2R. Треугольник ACM также вписан в окружность, поэтому  дробь: числитель: AC, знаменатель: синус альфа конец дроби = 2R. Таким образом,

 дробь: числитель: AC, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: MN, знаменатель: синус альфа конец дроби ,

MN = дробь: числитель: AC умножить на синус 2 альфа , знаменатель: синус альфа конец дроби =AC умножить на 2 косинус альфа = 2 умножить на 7 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 336, знаменатель: 25 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 336, знаменатель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 563635: 563616 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Сибирь, Задания 16 ЕГЭ–2021
Методы геометрии: Теорема синусов