Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N, такая, что CN = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 7, 
а) Рассмотрим треугольники BCN и BAM. По условию AM = AD = BC, AB = CD = CN. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы MAB и BCN. Таким образом, треугольники BNC и BAM равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому равны и их соответственные стороны BN и BM.
б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, тогда равны их диагонали, поэтому AC = BM = BN = 7. Имеем:
Тогда
\sqrt{x} Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
Ответ: 
Приведем решение Константина Чекулаева.
Проведём биссектрисы, медианы и высоты AT и CP в равнобедренных треугольниках MAD и DCN. Тогда углы ATC и APC в четырёхугольнике ATPC прямые и опираются на одну сторону AC, значит, этот четырехугольник вписанный. Углы BAD и CDP равны, поэтому 
откуда
Применим теорему синусов к треугольнику TCP, получим 
Окружность, описанная вокруг треугольника TCP, также описана вокруг четырёхугольника TACP, а угол ATC — прямой и вписанный в эту окружность. Следовательно, он опирается на диаметр AC, равный 7, по условию. Тогда 
а это средняя линия в треугольнике MDN. Таким образом, 
Здравствуйте, хочу предложить более красивое и менее счётное решение. Проведём биссектрисы, медианы и высоты AT и CP в равнобедренных треугольниках MAD и DCN, тогда углы ATC и APC в четырёхугольнике ATPC равны по 90 градусов и опираются на одну сторону AC, значит, он вписан в окружность. По условию задачи, sinBAD = 7/25; так как BAD = CDP и TCP = 90 - CDP = 90 - BAD, то sinTCP = cosBAD = 24/25; по теореме синусов для треугольника TCP, TP / sinTCP = 2R, но окружность, описанная около треугольника TCP, также является окружностью, описанной около четырёхугольника TACP, а угол ATC - прямой и вписанный в неё, значит, он опирается на её диаметр AC, равный 7 по условию, тогда TP = 7 * 24 / 25 = 168 / 25, а это средняя линия в треугольнике MDN, значит, MN = 2TP = 336 / 25.
Добавили. Спасибо!