Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN.
а) Докажите, что BM = BN.
б) Найдите MN, если AC = 4, 
а) Рассмотрим треугольники NAB и BCM. По условию AN = AD = BC, AB = CD = CM. В равнобоких трапециях NABC и ABCM равны углы A и C, а значит, равны и углы NAB и BCM. Таким образом, треугольники NAB и BCM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны соответственные стороны BN и BM этих треугольников. Это и требовалось доказать.
б) Заметим, что ABCM и NABC — равнобокие трапеции, поэтому равны их диагонали. Тогда 
Имеем:
Отсюда
Теперь применим теорему косинусов для треугольника MBN:
а тогда 
Ответ: 
Примечание.
Рассматривая аналогичную задачу 563667, мы привели и другое решение.